Kelly 公式与仓位 sizing — 风险资本分配的数学基础

读完本页后，你应该能够：

• 默写 Kelly 单笔公式与两资产扩展
• 解释为什么用全 Kelly 会导致毁灭性回撤
• 给出"半 Kelly"与波动率目标化作为实务替代
• 区分赌场 / 股票 / 期权 / 加密四种场景下的 sizing 差异
• 把 Kelly 套用到自己的单笔股票 / 期权决策上

Kelly 公式：f* = (bp - q) / b，其中 f* = 下注比例、p = 胜率、q = 1-p 败率、b = 赔率。全 Kelly 最大化长期几何收益，但方差极大，实际回撤可达 50–80%。Ed Thorp 1960s 21 点 + 1970s Princeton/Newport 基金证明 Kelly 可盈利但实际用 1/2 Kelly 甚至 1/4 Kelly 控制回撤。对股票投资者：(a) Kelly 不易直接用（概率难估）；(b) 现代替代 = 波动率目标化（每笔风险 0.5–1% 组合）+ 相关性对冲 + 分散；(c) 核心启示是"下注大小与 edge 成正比"——没 edge 就小仓位；大 edge 才能大仓位。

1.1 单笔二元赌局

你有 $100，某赌局：

• 赢概率 p = 60%
• 赔率 b = 1（赢 1 得 1）
• 输概率 q = 40%

问：下注多少？

1.2 Kelly 答案

f* = (bp − q) / b
   = (1 × 0.6 − 0.4) / 1
   = 0.2

→ 应该下 20% 资金 = $20

1.3 为什么 f*

目标：最大化期望对数收益（等价于最大化长期几何增长率）。

G = p × ln(1 + f × b) + q × ln(1 − f)
dG/df = 0 → f* = (bp − q) / b

1.4 关键性质

• f* > 0 → 你有 edge，值得下
• f* ≤ 0 → 没 edge 或 负 edge，别下
• 超过 f* → 期望对数收益下降；风险上升

2.1 全 Kelly 的毁灭性方差

理论上全 Kelly 最优，但波动率极大：

• 半年内 50% 概率回撤 ≥ 50%
• 一年内 50% 概率回撤 ≥ 75%
• 心理无法承受

2.2 半 Kelly 的实用折中

1/2 Kelly = 20% → 10%：

• 长期收益降 ~25%
• 回撤降 50%+
• 典型实战选择

2.3 分数 Kelly 的一般规律

0.5 Kelly 是多数专业资金管理者的起点。

3.1 两资产公式

f*_1 = (μ_1 − r) × σ_2² − (μ_2 − r) × cov / (σ_1² × σ_2² − cov²)
f*_2 = (μ_2 − r) × σ_1² − (μ_1 − r) × cov / (σ_1² × σ_2² − cov²)

（μ = 预期收益，σ² = 方差，r = 无风险利率，cov = 协方差）

3.2 关键含义

• 相关性低的资产可以同时高仓位（互相对冲方差）
• 相关性高的资产仓位相加时会double-count 风险 → 必须降低

3.3 实务简化

大多数投资者用协方差矩阵做 mean-variance 优化（Markowitz），得到的是 Markowitz tangent portfolio——与多资产 Kelly 在理论上等价。

4.1 21 点（1960s）

• 算牌系统 + Kelly sizing
• 实际用 1/2 Kelly 控制单桌风险
• 赚 10–20 万美元，后被所有赌场列入黑名单

4.2 Princeton/Newport Partners（1969–1989）

• 对冲基金，量化套利（权证 / 可转债）
• 20 年无亏损年
• 年化 19%、夏普 > 3
• 单笔仓位严格 Kelly（1/4–1/2 Kelly）

4.3 教训

• Kelly 需要精确的概率
• 精确概率需要独立信号 + 大样本验证
• 大多数股票投资者没有 Kelly 所需的概率估计
• → Kelly 更适合量化套利 而非方向性投资

5.1 波动率目标化（Volatility Targeting）

现代替代：不用概率，用波动率。

仓位 = (组合风险预算) / (资产波动率) 例：

• 组合年化波动率目标 = 10%
• TSLA 年化波动率 = 40%
• 仓位比例 = 10% / 40% = 25%

优点：不需要估概率，容易计算。 缺点：假设波动率 = 风险（忽略不对称回报）。

5.2 Risk Parity（风险平价）

• 每个资产贡献相同风险而非相同权重
• 需要杠杆（低波资产加杠杆、高波资产减仓）
• Bridgewater All Weather 是代表

5.3 规则式 sizing

简单规则（Buffett 式）：

• 最高仓位 10–20%（很少超过）
• 组合 15–25 只股票
• 单笔亏损不超过组合 5%
• 不加杠杆

启示：不依赖公式，但隐式地防御 over-sizing。

假设你要买 NVDA：

• 你相信未来 2 年涨 50% 概率 60%，跌 25% 概率 40%
• 赢得 + 50%，输得 −25%

Kelly：

b = 50% / 25% = 2  (赢赔率相对输赔率)
f* = (bp − q) / b = (2 × 0.6 − 0.4) / 2 = 0.40

→ 全 Kelly 建议 40% 仓位！

6.1 问题

• 你真的知道概率 60%/40% 吗？
• NVDA 单股 40% 仓位 = 巨大集中风险
• 如果你持有 3 只这样的股票 → 仓位合计超 100%（需要杠杆）

6.2 实务调整

• 1/2 Kelly = 20%——已经很激进
• 考虑多个候选 → 每只 5–10%
• 实际操作：10% 上限

结论：Kelly 告诉你"相信度越强、仓位越大"的方向感；具体数字要大幅保守。

期权天然有非对称回报：买方最大损失 = 权利金；卖方最大损失可能大。

7.1 买方（买 call / put）

• 胜率通常 30–40%
• 赔率 2:1 到 10:1 不等
• Kelly 可能 10–20%

但权利金风险是确定的，可以直接当风险。

• 单笔 1–3% 组合净值作为权利金 = 健康

• 5% 过激

7.2 卖方（备兑 call / cash-secured put）

• 胜率通常 70–85%
• 赔率只有权利金 vs 标的差额
• Kelly 看起来很大但单笔最大损失可能吞掉多笔权利金

实务：卖方 sizing 关键看"被行权后的股票占组合比例"。

参见 期权基础。

BTC / ETH 波动率远高于股票：

• 年化波动率 60–80%
• 赔率非线性（大牛市可 10x，大熊市 −80%）

8.1 Kelly 理论值

• 假设 p = 50%、b = 3:1 → f* = 33%
• 全 Kelly 加密仓位 = 30%+，对应 2022 年回撤 60–70% = 组合减半

8.2 实务

• 个人投资者 5–15% 加密总仓位
• 这就是 1/4 到 1/3 Kelly
• 冷钱包 + 现货优先，避免合约杠杆

9.1 高估自己 edge

最大错误：以为自己赢面 70%，其实只是 55%。Kelly 对概率极敏感，高估 10% → 仓位高估 20%+ → 回撤放大。

9.2 把单次机会当独立重复

真实投资里机会不独立重复。这次 NVDA 的 edge 下次未必有。

9.3 忽略相关性

三只科技股都赚，三只科技股也都跌——互相不是独立下注。仓位加总时要 discount 相关性。

9.4 混淆 Kelly 与仓位上限

Kelly 是最优分配，不是"下限"。大多数时间你的概率估计错了，保守远好于激进。

每次决策前问自己：

1. 这笔的预期胜率是多少？（保守估计）
2. 赢的赔率与输的赔率是多少？
3. Kelly 理论值 f* 是多少？
4. 半 Kelly（更保守）是多少？
5. 单笔最大亏损 = 组合几 %？
6. 这笔和组合里其他仓位相关度多少？
7. 如果错 → 我能承受吗？
8. 如果对 → 这笔占组合上限是多少？

红线：

• 单笔最大亏损超过组合 5% = 过大
• 单只股票超过组合 20% = 过大（除非极高信心 + 长期）
• 单一板块 / 主题超过 30% = 过大
• 任何仓位让你"睡不着" = 过大

11.1 Howard Marks — "敌人是你"

Marks 反复强调：大多数亏损来自"过度自信 + 过度仓位"。Kelly 的数学正是这句话的精确版——高估 edge → 过度仓位 → 毁灭。

11.2 Dalio — All Weather + Risk Parity

Dalio 的 All Weather 是 多资产 Kelly 的实务落地——风险平衡、低相关、全天候运行。

12.1 Ed Thorp 原文（权威一手）

12.2 学术与量化社区

12.3 实操公式（连续资产版）

Thorp 连续金融 Kelly（不需要概率，只需要均值与方差）：

$f\ast =\mu /{\sigma }^2$

• μ = 预期超额收益率（相对无风险利率）
• σ² = 收益率方差

例：一个策略的期望超额年收益 12%、年化波动 25% $f\ast =0.12/0.25^2=0.12/0.0625=1.92=192$ → 理论 Kelly 让你加杠杆到 1.92 倍。实战用 1/2 Kelly = ~96%（基本满仓但不加杠杆）。

12.4 推荐学习路径

1. 读 Thorp 2007 论文（60 页，权威一手）
2. 过 QuantStart 教程跑一遍 Python demo
3. 用自己的策略计算过去 5 年 μ 和 σ
4. 套 f* = μ / σ² 公式得出理论仓位
5. 除以 2（半 Kelly） → 得到实战仓位
6. 每日再平衡或 5% 偏离触发再平衡

单笔：f* = (bp − q) / b；用 1/2 Kelly 作实务起点 多资产：波动率目标化 + 相关性 discount 红线：单笔亏损 ≤ 5% 组合、单股 ≤ 20% 组合、单主题 ≤ 30% 组合 加密：5–15% 总仓位即对应 1/4 Kelly 期权：买方权利金 ≤ 3% 组合；卖方看被行权后占比 股票新手：固定 5–10% 单笔上限，不算公式

• Kelly：f* = (bp − q) / b，最大化长期几何收益
• 全 Kelly 回撤极大（50–80%），实战用 1/2 Kelly
• 股票难直接用 Kelly（概率难估），波动率目标化是现代替代
• 多资产 Kelly = Markowitz tangent portfolio
• Ed Thorp 21 点 + Princeton/Newport 20 年无亏损 = Kelly 实证
• 常见误用：高估 edge、忽略相关性、单次当重复
• 仓位红线：单笔 5% / 单股 20% / 单主题 30%
• 心理底线：任何让你失眠的仓位 = 过大

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