状态观测器与无传感器 FOC — Luenberger / SMO / Kalman / HFI

状态空间模型:

x 是状态(可能不可直接测),y 是输出(可测)。目标:从 y 估计 x̂。

最朴素结构——"复制系统"+ "误差反馈":

L = 观测器增益矩阵。设计 L 让 (A - LC) 极点在左半平面 + 比 plant 极点快(典型 5-10×)→ x̂ → x。

PMSM 在 αβ 坐标系电压方程:

e_α, e_β = 反电势 = ψ_f · ω · [-sin(θ_e), cos(θ_e)]。

观测目标:从 v, i 估计 e_α, e_β → 反推 θ_e = atan2(-e_α, e_β)。two-argument atan2 保留全象限信息、可恢复 0-360° 转子角;若写成单参数 atan2(-e_α/e_β) 只覆盖 ±90°、丢失象限。

观测电流 + 反电势:

(类似 β 通道)

l1, l2 = 观测器增益。设计极点 → 算 l1, l2。

Luenberger 是线性观测器,增益 L 用极点配置一次算定,结构和计算量都最省——这是它在低成本 MCU 上仍有位置的根本原因。

• 简单(线性方程)
• 计算量小(MCU 实时友好)
• 稳定性可证明(经典控制理论)

固定增益换来的代价是鲁棒性与低速能力:模型参数一漂、反电势一小,估计立刻退化。

• 鲁棒性差(对参数 R, L 敏感,温度漂移影响大)
• 零速 / 低速无效(反电势 ∝ ω,ω = 0 时反电势为 0,无信号)
• 启动困难(从零速观测必须辅助)

把上面的优劣叠起来,Luenberger 的甜区落在转速稳定、参数可控的中速以上工况。

• 中速以上(> 10% 额定速)
• 工业风机 / 泵(转速稳定)
• 简单实现(low-cost MCU)

不用线性反馈,用符号函数(sgn) 反馈,使误差滑动到零而非渐近趋近:

Ksmo > 0 是滑模增益。

滑模一旦"到达滑模面"(误差 = 0),z_α 平均值 = 反电势 e_α(等效控制 = Equivalent Control)。

实务:用低通滤波器从 z_α 提取 e_α:

LPF 带宽 = ω_e_max(电机最高电频率)。

滑模的价值在于对参数不敏感:只要增益选得够大压过反电势,Rs、L 漂移都被滑动面吸收。

• 鲁棒(对参数 R, L 容忍 ±20%)
• 中高速主流方案
• 算法简单(符号 + 低通)

鲁棒是靠高频切换换来的,代价是抖振和 LPF 相位滞后,这两条直接决定 SMO 能不能干净地喂给 FOC。

• 抖振(chattering)—— sgn 函数在滑模面附近高频切换 → 引入抖动
• 解决:用 sigmoid / sat 函数替代 sgn(平滑过渡)
• LPF 引入相位滞后,需补偿 θ_e_compensated = θ̂_e + ω_e · TLPF

家电压缩机(美的 / 海尔 / 海信)中高速段几乎都是 SMO:

• 启动用 V/f 开环升速到 5-10% 额定
• 切到 SMO 闭环
• 全速 SMO 跟踪

Kalman 在线性系统下最优,EKF 把非线性系统局部线性化(雅可比矩阵)后用 Kalman:

预测:

更新:

F = ∂f/∂x, H = ∂h/∂x(雅可比),Q = 过程噪声,R = 测量噪声。

经典选 4 个状态:

模型 f 包含 PMSM 电压方程 + θ_e 积分(dθ/dt = ω)。

EKF 把过程噪声和测量噪声显式建模,在同一框架里给出统计最优估计,精度是四类里最高的。

• 精度最高(最优估计)
• 处理非线性
• 自动平衡测量噪声 vs 模型噪声
• 也可估计参数(扩展状态)

最优的代价是算力和调参:每步要算雅可比和矩阵求逆,Q/R 又没有直接物理意义,还得防协方差数值发散。

• 计算量大(矩阵求逆 / 雅可比每步算)
• Q, R 调参困难(无明确物理意义)
• 协方差矩阵数值不稳定 → 必须 Joseph form 或 UD 分解

算力门槛把 EKF 挡在高端场景:算得起的地方用它,算不起的地方退回 SMO。

• 高端工业伺服(Yaskawa / Mitsubishi)
• 实验级 EV 主驱(无传感器降级备份)
• 学术界主流(算法对比 baseline)

家电压缩机 EKF 太贵(MCU 算力不够)→ SMO 是主流。

EKF 局部线性化的精度损失在强非线性下大 → UKF 用 sigma 点采样近似分布,精度更高,计算量略大。EV 主驱实验室用,量产罕。

IPMSM 的 Ld ≠ Lq(转子永磁体在 d 轴 → 磁阻不对称):

磁阻与电感成反比(L = N²/ℛ),故小电感对应大磁阻:

• 沿 d 轴:永磁体 μr≈1(近空气)→ 等效大气隙 → 磁阻最大,Ld 小
• 沿 q 轴:磁通走转子铁芯 → 磁阻最小,Lq 大

即 ℛd > ℛq,与页内 Ld=0.3mH < Lq=0.6mH 一致。

注入高频电压(典型 500-1000 Hz)叠加在 dq 参考上 → 高频电流响应幅值与方向反映 d 轴位置。

注入:

测得高频电流响应,用解调技术提取与 sin(2θ̂_e_error) 成正比的项 → 反馈 θ̂_e。

HFI 不依赖反电势,而是探测 IPMSM 的 dq 磁路不对称,这让它成为零速/低速段唯一可用的方案。

• 零速可用(唯一)
• 启动平稳
• 精度好(IPMSM 凸极比 Lq/Ld ≥ 1.3 时)

代价是注入本身带来的噪声/振动,且只对凸极电机有效、高速会被基波淹没。

• 噪声(高频电流引入电机噪声 / 振动)
• 限于 IPMSM(SPMSM 凸极比 ≈ 1 → HFI 不适用)
• 中高速失效(高频载波被基波淹没 → 必须切到 SMO)

所以 HFI 在量产里从不单独用,而是专管零低速段,交接给 SMO 覆盖中高速。

• 家电压缩机启动(0-10% 额定速)→ HFI;中高速 → SMO
• 工业伺服低速段 → HFI
• EV 主驱无传感器降级备份 → HFI(零速失能时维持基本动作)

家电压缩机:HFI(0-10%)→ 平滑过渡(10-15%)→ SMO(> 15%)。

工业伺服:HFI(0-5%)→ EKF(5-100%)。

EV 主驱无传感器降级:HFI(零速维持)+ SMO(中高速),仅作 resolver 失效后安全停车用,不长期运行。

选无传感器,本质是拿转矩精度 / 启动能力 / 安全等级换掉传感器的成本与体积,下面几条是它成立的边界。

• 转矩稳定性要求 < 5%(家电 / 风机 / 泵)
• 启动转矩 < 50% 额定
• 安全要求 ASIL B 以下
• 成本敏感(节省 $30-100 的 resolver + RDC)

反过来,只要转矩精度、满转矩启动或 ASIL D 里有一条是硬指标,就必须回到有传感器路径。

• 转矩稳定性要求 < 1%(伺服 / 机器人)
• 启动满转矩(EV 主驱 / 电梯)
• ASIL D 安全(EV 主驱)
• 高动态响应

ISO 26262 ASIL D 要求位置故障覆盖率 > 99% + 故障诊断时间 < 100 ms:

• 无传感器: 参数漂移 / 噪声 / 模型失配 → 难以独立故障诊断
• resolver + RDC: LOS/DOS/LOT 内置硬件检测 → 直接覆盖

→ EV 主驱 resolver 是 ASIL D 安全要求(不是技术选择)。无传感器 FOC 仅作"resolver 失效后降级备份"——allowing safe stop in case of sensor failure。

滑模观测器用 sgn(S) 切换引入 5–10 kHz 抖振电压,经 LPF 估得 ê_α/ê_β 后,PLL 输出 θ̂_e 仍含高频噪声 → 直接污染 Park 变换 → dq 电流振荡 → 转矩抖动 → 音频噪声/机械振动。

修复:sgn(·) 替换为 sat(S/δ)(边界层 δ = 5–10 A),牺牲抖振完全消除换取连续性;LPF 截止频率 ωc = 5×ωe_max(本设计 ωc = 8320 rad/s = 1324 Hz),高速段仍有 11.3° 相位滞后需前馈补偿(见 G6)。

SMO 用模型 L·dî/dt = -R·î + v - Ks·sgn 中 R=Rs。Rs 随温度漂移 0.393%/°C(铜)。高温 125°C:Rs 升至 13.9mΩ(+39%,与 motor-control §11 一致)。

低速段电流误差电压:ΔV = ΔRs × Imax = 3.9mΩ × 250A = 0.975V。反电势 @ nmin = 403rpm:Vemf_min = ψf × ωe_min = 0.08 × 168.75 = 13.5V。位置误差:θ_err ≈ arctan(ΔV / Vemf_min) = arctan(0.975/13.5) = 4.1°(低速段不可忽略);高速段 Vemf_base = 133V → θ_err ≈ arctan(0.975/133) = 0.4°(可忽略)。

修复:低速段在线 Rs 辨识(直流注入法)或 NTC 温度 LUT 补偿;确认补偿电路进 FMEDA 的诊断覆盖率。

HFI 注入 Vh=10V @ fh=1000Hz → 高频电流 ih_pk=5.3A,产生对应频率的电磁力 → 电机噪声/振动。家电压缩机低速静音场景尤其显著(1000Hz 落在人耳敏感 1–3kHz 边缘)。

修复:① 注入频率抬至 1500–2000Hz(超出人耳敏感区);② 限最小注入幅度(ih_pk ≥ 3A 保信噪比);③ HFI 仅在 0–10% 额定速启用,过渡后切 SMO;④ 高 Lq/Ld 比(本设计 2.0)有助于降低注入幅度需求。

Q、R 矩阵选不当 → Riccati 方程数值不稳定 → P 正定性破坏 → 滤波增益溢出 → 状态估计发散。TC397 TriCore 定点/浮点混用时尤其触发(单精度舍入累积)。

修复:① 用 Joseph form 更新 Pnew = (I-KH)P(I-KH)^T + KRK^T → 强制 P 对称正定;② 或 UD 分解 P = U·D·U^T(U 上三角,D 对角正定),数值稳定性高于直接协方差更新;③ 实时监测 trace(P),超阈值重置;④ EKF 跑在 TC397 浮点协处理器 vs SMO 的定点路径(计算量差 5–10×)。

纯 V/f 开环启动:无位置反馈 → 转矩不受控,最大启动转矩约 50% 额定(电流与磁场对齐误差大)。HFI 启动:ih=5.3A 高频叠加引起 Lq 饱和(HFI 电流 q 轴分量 → 磁路饱和 → 实际 Lq↓ → 位置估计误差↑)。

修复:① 大转矩负载(电梯/压缩机)用 HFI + 预磁化(d 轴强制励磁 50ms 建立初始 θ̂_e);② 启动期限制 iq ≤ 50%Imax 以减少磁饱和;③ V/f+SMO 分级:V/f 加速到 5–10% 速后切 SMO;④ EV 降级模式不追求满转矩,安全停车即可(见 Corner C3)。

SMO 用 LPF 提取 ê_α/ê_β:ê(s) = ωc/(s+ωc) × Ks·sgn(S),相位滞后 φ_lag = -arctan(ωe/ωc)。@ 额定转速(ωe = 1664 rad/s,ωc = 8320 rad/s):φ_lag = -arctan(1664/8320) = -11.3°。不补偿则 Park 变换用错误 θ̂_e → MTPA 偏离 → 铜损增加 / 转矩误差 ≈ sin(11.3°) × Imax ≈ 49A 等效电流浪费。

修复:① 前馈补偿 θ̂_e ← θ̂_e + arctan(ω̂_e/ωc)(在线计算,随速度变化);② 或直接用 PLL 结构:PLL 的角频率跟踪天然消除相位偏差(PLL 输出 ω̂_e 使误差趋零,不依赖 LPF 截止);本设计推荐 PLL 路径。

过渡区(300–450 rpm):θ̂_HFI 和 θ̂_SMO 来自不同算法,可能差 5–15°(参数误差 + 各自相位滞后不同)。直接切换 → Park 变换 θ_e 阶跃 → dq 电流突变 → 转矩脉冲 → 机械冲击/振动。

修复:① 加权融合过渡区:θ̂ = (1-w)·θ̂_HFI + w·θ̂_SMO,w 从 0 线性升至 1(300→450rpm);② PI 状态初始化:进 SMO-PLL 路径前,将 PLL 积分初值设为 ω̂_e_HFI(避免积分风车);③ 监测 |θ̂_HFI - θ̂_SMO| 做切换质量门,差值 > 10° 时暂缓切换并告警。

对 IPMSM 做等效电感近似 $Lavg=(Ld+Lq)/2=0.45\text{mH}$,αβ 坐标系植物模型写作:

其中反电势分量 $e_{\alpha }=-{\psi }_f{\omega }_e\sin {\theta }_e$,$e_{\beta }={\psi }_f{\omega }_e\cos {\theta }_e$。SMO 用离散实现(Euler 前向差分,步长 $Ts=100\mu \text{s}$):

(β 通道对称)

滑模的 reaching condition 要求增益压过反电势峰值:$Ks>|e{|}_{\max }$。额定转速下反电势峰值:

取 $Ks=200\text{V}$(约 50% 裕量,覆盖电机参数散差 ±15% + 弱磁段 ωe 超额定):

sgn 改 sat 后残余抖振仍需滤除,LPF 从等效控制里提取反电势:

截止频率设计 ${\omega }_c=5\times {\omega }_{e,base}=5\times 1664=8320\text{rad/s}$($fc=1324\text{Hz}$)。相位滞后 ${\varphi }_{lag}=-\arctan ({\omega }_e/{\omega }_c)$ 需补偿(见 G6):

误差信号线性化(for small $\tilde{\theta }$):

PI 型 PLL(归一化误差 ${\epsilon }_n=\epsilon /|\hat{e}|$):

设计点 ${\omega }_n=300\text{rad/s}$,$\zeta =0.707$(跟踪 BW 约为电流环 BW/10):

PLL 天然实现相位滞后跟踪(ω̂_e 的积分使 θ̂_e 跟踪真实 θ_e,无需手工前馈)。

反电势估计噪声来自 αβ 电流采样噪声经 $Lavg/Ts$ 放大:

(${\sigma }_i\approx 1\text{A}$:12-bit ADC ±500A 量程,3σ 电流噪声)。最低工作条件取 $|e{|}_{\min }>3{\sigma }_{\hat{e}}$:

即 10.1% 额定速——低于 403rpm 必须切 HFI。SMO 在 300–450rpm 过渡区与 HFI 加权融合(见 G7)。

IPMSM 凸极比 $\xi =Lq/Ld=0.6/0.3=2.0$(强凸极,HFI 信号品质好)。注入参数取 $Vh=10\text{V}$、$fh=1000\text{Hz}$(${\omega }_h=6283\text{rad/s}$),高频电流响应峰值:

差分响应(d-q 不对称)$\Delta ih\propto Vh/{\omega }_h\times (1/Ld-1/Lq)=5.3\times (1-0.5)=2.65\text{A}$ 为位置信号幅度。切换策略:

n < 300rpm  → HFI 主导
300–450rpm  → 加权融合 θ̂ = (1-w)·θ̂_HFI + w·θ̂_SMO
n > 450rpm  → SMO 主导

下表汇总本设计全部关键参数与其推导来源,便于移植时逐项对照:

本设计低速边界 10.1% 额定速,与工业典型值(5–15%,随信噪比与应用而定)吻合;LPF 在额定速引入 11.3° 相位滞后,PLL 结构自消除、无需手工前馈——这是 SMO+PLL 相比 SMO+atan2 路径的核心优势。

Rs 从 10mΩ 升至 13.9mΩ(铜温度系数 0.00393/°C,ΔRs=3.9mΩ,与 motor-control §11 一致)。低速段(10% rated = 403rpm)误差电压:

位置误差 ${\theta }_{err}\approx \arctan (0.85/13.5)=3.6^{\circ }$。Park 变换误差 3.6° → MTPA 偏离 → 等效转矩损失:

但若 Iq 接近 Imax:$\Delta V=3.9\times 250=0.975\text{V}$ → 最坏 θ_err 4.1°。

结论:高温低速段 Rs 漂移导致 3.6–4.1° 位置误差,轻载可接受,重载需在线 Rs 辨识。家电压缩机(轻载低速为主)可容忍;EV 降级模式(只求安全停车)也可容忍。

SMO 用 $Lavg=0.45\text{mH}$ 替代 dq 各向异性,但实际 $Ld=0.3\text{mH}$、$Lq=0.6\text{mH}$(差 2×)。αβ 框架的电流方程含 θ_e 相关电感项:

误差幅度 $\Delta L/Lavg=0.15/0.45=33\%$。低凸极比(ξ→1)时 SMO 误差小,高凸极比(本设计 ξ=2)模型失配大 → 误差含 2ωe 分量 → 需更高 LPF 截止或换 IPMSM-aware SMO(全 dq 模型 + 非线性观测器)。

结论:ξ=2 场景 Lavg 近似引入 33% 电感误差,高速时 ê 含 2fe 纹波 → 推荐 EKF(处理非线性 Lq/Ld)或 enhanced SMO(含 saliency 补偿)。量产家电压缩机(SPMSM,ξ≈1)无此问题。

EV 主驱(ASIL D)resolver 失效 → FAULT 检出 → 降级至无传感器 FOC 做安全停车。FTTI = 200ms(SG-01;HW DESAT 路径 1.22µs 已覆盖短路,SW 路径 200ms 是软件检测),降级建立时间预算 ≤ FTTI×25% = 50ms(保留 75% 给减速)。TC397 无传感器降级时序:

T=0ms  : resolver LOS 检出(LOS 检测 <130µs,见 topic-resolver-rdc)
T=0ms  : 切入 HFI,预磁化(强制 id=50A,对齐 d 轴,25ms)
T=25ms : HFI PLL 锁定初始 θ̂_e(锁定约 15ms → 25+15=40ms)
T=40ms : n=0 → SMO 未工作,保持 HFI,开始受控减速(T ↓)
T=50ms : 完成位置 bootstrap,进入 closed-loop 减速

总计 40ms < 50ms 预算(裕量 20%)。注意事项:

• 降级模式不追求额定转矩精度,仅保证 n↓ 到 STO 阈值(< 58km/h = 3675rpm @ ke=0.50Vs/rad,见 torque-safety)
• HFI 预磁化 id=50A 在 iq=0 时不产生转矩,安全
• 此降级路径不替代 ASIL D 主控,仅用于 resolver 失效后安全停车(ISO 26262 依从见 topic-hv-inverter-iso26262-concept)