Compensator Design 补偿器设计 (Type-2 / Type-3 / K-factor)

先把"补偿器"放回它所在的回路里。一个稳压器的小信号框图是:参考 → 误差放大器/补偿器 $Gc(s)$ → PWM 调制器 $1/VM$ → 功率级 $Gvd(s)$ → 采样 $H(s)$ → 回到误差点(Erickson 2e Fig 9.4,p.336)。绕这一圈的乘积就是环路增益 $T(s)=Gc(s)\cdot \frac{1}{VM}\cdot Gvd(s)\cdot H(s)$(eq 9.53)。所有闭环性能都由 $T$ 决定:参考到输出、线到输出、负载到输出三条闭环传函都带同一个分母 $1+T(s)$(eq 9.4)。

大 $|T|$ 是我们想要的——它把开环扰动按 $1/(1+T)$ 压缩:线纹波抑制、输出阻抗、稳态误差都 $\propto 1/(1+T)$。所以第一冲动是"把增益开大"。但硬约束在这里:只要 $T$ 是负反馈(绕一圈净相位),在某个频率相位转到 $-180^{\circ }$、$|T|$ 又恰好 $\ge 1$,反馈就变正、系统失稳。功率级的 LC 本身在谐振处就甩掉近 $180^{\circ }$,增益一大、穿越频率被推高到那片相位塌陷区,环就振。

所以补偿器的任务不是"降增益消灭振荡",而是塑形 $T(s)$:低频尽量高(积分)、fc 处相位留足裕度(零点提相)、高频快速滚降(极点)。这就是 lead(提相)、lag(抬低频)、Type-2/Type-3(两者组合)存在的全部理由。

判稳只需看 $T(s)$ 的两个数。增益穿越频率 fc 定义为 $|T(j2\pi fc)|=1$(0 dB)处(Erickson eq 9.19,p.341);相位裕度是在 fc 处相位离 $-180^{\circ }$ 还差多少:

只要环路只有一个穿越频率、且 $T$ 无右半平面极点,$PM>0$ 就等价于闭环稳定(Nyquist 的一个特例,"相位裕度判据")。但"稳定"和"好"是两码事——PM 太小,闭环就在 fc 附近长出高 Q 复极点,阶跃过冲振铃。Erickson 把这个关系量化了(§9.4.2,eq 9.25,Fig 9.13,p.345):把 fc 附近的环路近似成 $T(s)=1/[(s/{\omega }_0)(1+s/{\omega }_2)]$,解出闭环双极点的品质因数

这条曲线给出几个必须背下来的锚点:

过冲那一列可独立核:二阶系统阻尼 $\zeta =1/(2Q)$,过冲 $=\exp (-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2})$;$Q=1$ 时 $\zeta =0.5$、过冲 $=\exp (-\pi \cdot 0.5/\sqrt{0.75})=16.3\%$,与表一致。工程取值:PM 目标 $52^{\circ }$–$60^{\circ }$ 是甜点——低于 $45^{\circ }$ 振铃难看、余量不够(元件容差 $\pm$、ESR 漂移会再吃掉几度),高于 $76^{\circ }$ 则牺牲带宽换来的过阻尼并不划算。增益裕度 GM(相位过 $-180^{\circ }$ 处 $|T|$ 离 0 dB 的余量)守 $\ge 10$ dB 作为第二道闸。

补偿器补的是"功率级 + 调制器"这个对象,它的阶次直接决定要几个零点。按反馈量分成三种控制模式,plant 阶次不同:

Voltage Mode Control(VMC):只反馈 Vout,误差经补偿器直接定占空比。控制-输出传函就是功率级的 $Gvd$——Buck 是两极点 LC 低通(Erickson eq 9.47-9.49):

${\omega }_0$ 是 LC 谐振;阻尼由负载定——$Q0=R/R0$($R0=\sqrt{L/C}$ 特征阻抗),轻载大 R → 高 Q 谐振峰、重载低 Q。$Q0>0.5$ 时双极点为复根、$f0$ 处相位恰 $-90^{\circ }$、之后 $-40$ dB/dec 下滑相位奔 $-180^{\circ }$。fc 通常设在 $f0$ 之上,那里 plant 已丢近 $180^{\circ }$——这就是 VMC 必须 Type-3 提大相的根源。真实电容 ESR 引入一个实零点 $fesr=1/(2\pi \text{ESR}C)$,给相位补一点、也改变高频斜率。

Peak Current Mode Control(PCMC):内环把电感峰值电流直接控住,把 LC 双极点拆开——低频只剩一个主极点 $fp\approx 1/(2\pi RCout)$,一阶,相位最多 $-90^{\circ }$:

一阶对象天然好补,Type-2 单零点提 $\sim 60^{\circ }$ 就够。代价是电流内环带来**$fsw/2$ 处的采样双极点**(其 Q 由斜率补偿量定)和 $D>0.5$ 的次谐振荡(见 §7)。完整 PCMC 小信号对象见PCMC Buck 控制环路与变换器 AC 建模。

Average Current Mode Control:内环控电感平均电流,不取峰值 → 无次谐振荡、抗噪强,响应偏慢;特别适合 PFC(topic-pfc-power-factor-correction),因为那里要电流精确跟随整流电压。

一句话认知:PCMC 用电流内环把二阶 plant 压成一阶,把"要 Type-3"降级为"Type-2 够用"——这是它取代 VMC 成为现代主流的核心理由。

补偿器网络其实就是几种基本单元的拼装。Erickson §9.5 把它们讲成三块可组合的积木(p.348-353):

Lead(PD,超前/微分) —— 在 fc 下方加一个零点提相、上方加极点滚降(Erickson eq 9.32,p.349):$Gc=Gc0(1+s/{\omega }_z)/(1+s/{\omega }_p)$。最大提相在零极点几何中点 $f\varphi max=\sqrt{fz\cdot fp}$(eq 9.33);要让最大提相正好落在 fc,反解得(eq 9.36):

Lag(PI,滞后/积分) —— 加一个倒置零点(inverted zero)$Gc=Gc\infty (1+{\omega }_L/s)$(eq 9.38,p.351),在 $fL$ 以下增益 $-20$ dB/dec 抬起来 → 低频增益趋大 → 稳态误差趋零、线纹波抑制变好;只要 $fL\ll fc$,fc 处相位几乎不动。

Type-2 = PI + 单极点(1 原点极点 + 1 零点 + 1 高频极点),Type-3 = PI + PD(1 原点极点 + 2 零点 + 2 高频极点)。前者最大提相 $<90^{\circ }$(实用 $<70^{\circ }$),后者可提到 $\to 180^{\circ }$——够抵消 LC 二阶的相位塌陷:

K-factor 方法(Venable 1983)把 lead 的置点公式包装成一步到位的配方。定义分离因子 $K$ 为极点频率与零点频率之比在 fc 两侧的对称展开:

• Type-2(单零单极):$K=\tan \left(45^{\circ }+\frac{\text{boost}}{2}\right)$,置 $fz=fc/K$、$fp=fc\cdot K$。
• Type-3(双零双极,零极点各重合):$K={\left[\tan \left(45^{\circ }+\frac{\text{boost}}{4}\right)\right]}^2$,置 $fz1=fz2=fc/\sqrt{K}$、$fp1=fp2=fc\sqrt{K}$。

这与 Erickson eq 9.35 的 $fp/fz=(1+\sin \theta )/(1-\sin \theta )$ 完全等价(用 $\sqrt{(1+\sin \theta )/(1-\sin \theta )}=\tan (45^{\circ }+\theta /2)$ 一步换过去),只是 Venable 给了更顺手的 boost→K 表达。所需 boost 由"补齐相位裕度"倒推:$\text{boost}=PM-90^{\circ }-{\varphi }_{plant}(fc)$,其中 ${\varphi }_{plant}$ 是被补偿对象(含调制器/采样)在 fc 处的相位(负值),$-90^{\circ }$ 是原点极点固有相位。Type-3 一个漂亮的自然结果:对 LC 二阶 plant,K-factor 算出的双零点几乎正好落在 $f0$(LC 谐振)处——等于"把两个零点摞在谐振点抵消双极点"这条老经验的严格推导(§5 worked design 会看到)。

用 Erickson 2e §9.5.4(pp.354-361)那台真实的电压模式 Buck 走全程,数值逐条可复核。规格:$Vg=28$ V、$Vout=15$ V、负载 5 A($R=3\Omega$)、$L=50\mu H$、$C=500\mu F$、$fsw=100$ kHz、PWM 锯齿幅值 $VM=4$ V、参考 $Vref=5$ V。这是 VMC(单环、无电流内环),plant 就是 LC 二阶。

第 1 步 静态工作点与采样增益。采样分压使 $Vout$ 落到 $Vref$:$H=Vref/Vout=5/15=1/3$(eq 9.44);占空比 $D=Vout/Vg=15/28=0.536$(eq 9.45);静态控制电压 $Vc=D\cdot VM=2.14$ V(eq 9.46)。

第 2 步 写出 plant 与未补偿环路。代入 eq 9.49:$Gd0=Vout/D=28$ V,$f0=1/(2\pi \sqrt{LC})=1/(2\pi \sqrt{50\mu \cdot 500\mu })=1.0$ kHz,$Q0=R\sqrt{C/L}=3\sqrt{500\mu /50\mu }=9.5$($19.5$ dB,轻载高 Q)。未补偿环路(令 $Gc=1$)的直流增益(eq 9.56):

它自己的穿越频率约 1.8 kHz、相位裕度不到 $5^{\circ }$——几乎必振,因为 fc 落在 $f0$ 上方那片相位已塌到近 $-180^{\circ }$ 的区域。

第 3 步 定目标带宽,读增益/相位缺口。取 $fc=5$ kHz $=fsw/20$(守 $fc\le fsw/10$ 留 PWM 纹波余量)。未补偿环路在 5 kHz 的幅值(远高于 $f0$,按 $-40$ dB/dec 外推)$|Tu(fc)|\approx Tu0(f0/fc{)}^2=2.33\cdot (1/5{)}^2=0.093$($-20.6$ dB)→ 补偿器要在 fc 提供 $+20.6$ dB($\times 10.7$)增益把环拉到 0 dB。plant 在 fc 相位 ${\varphi }_{plant}\approx -179^{\circ }$(双极点已滚够)。目标 PM $=52^{\circ }$(→ 闭环 Q=1、过冲 16%,§2 表)。

第 4 步 K-factor 定 Type-3 零极点。所需提相 $\text{boost}=PM-90^{\circ }-{\varphi }_{plant}=52-90-(-179)=141^{\circ }$。按 Type-3 的 K-factor:

双零点落在 866 Hz ≈ $f0$(1 kHz)——正好摞在 LC 谐振上抵消 plant 双极点,双极点推到 28.9 kHz(在 $fsw/2$=50 kHz 之下,压 PWM 纹波)。核相:补偿器总相位 ${\varphi }_c(fc)=-90^{\circ }+2{\tan }^{-1}\frac{K-1}{2\sqrt{K}}=-90+2{\tan }^{-1}(2.80)=+50.7^{\circ }$,则 $PM=180+{\varphi }_{plant}+{\varphi }_c=180-179+50.7\approx 52^{\circ }$。✓

第 5 步 定增益并落到 op-amp RC 真值。Type-3 的积分常数 $Kint$(原点极点系数,$=1/[R1(C1+C2)]$)按"fc 处 $|Gc|=1/|Tu(fc)|=10.7$"定:$Kint={\omega }_c/(|Tu(fc)|\cdot K)=2\pi \cdot 5000/(0.093\cdot 33.3)=1.01\times 10^4$。选真件:采样分压上臂 $R1=10\text{k}\Omega$(下臂 $Rbot=R1\cdot Vref/(Vout-Vref)=10\text{k}\cdot 5/10=5\text{k}\Omega$),按标准 Type-3 op-amp 网络的元件式(Power Electronics Technology 2011-01,eq 39-46,${\omega }_z=2\pi fz$、${\omega }_p=2\pi fp$)算出:

反核每个角频率:$fz1=1/(2\pi R2C2)=1/(2\pi \cdot 19.1\text{k}\cdot 10\text{n})=833$ Hz;$fz2=1/(2\pi (R1+R3)C3)=1/(2\pi \cdot 10.33\text{k}\cdot 18\text{n})=856$ Hz(两零点 $\approx 860$ Hz,合在 $f0$ 处);$fp1=1/(2\pi R2C1)=1/(2\pi \cdot 19.1\text{k}\cdot 300\text{p})=27.8$ kHz;$fp2=1/(2\pi R3C3)=1/(2\pi \cdot 330\cdot 18\text{n})=26.8$ kHz(两极点 $\approx 27$ kHz)。fc 处补偿增益 $|Gc|=KintK/{\omega }_c=1.01\text{e4}\cdot 33.3/(2\pi \cdot 5000)=10.7$。✓ 数字闭环自洽。器件建议:op-amp 用 GBW $\gg fp$(如 $\ge$ 数 MHz)的低噪声运放,或直接用外补偿电压模式控制器(如 TI TPS40200 系列)的误差放大器,C2/C3 用 C0G/NP0 陶瓷(容差/温漂小,别用 X7R——补偿网络对容差敏感)。

第 6 步 验证与扰动抑制。补偿后 $T(s)$:fc$=5$ kHz、PM$=52^{\circ }$、闭环 Q=1、阶跃过冲 16%;直流环增益因原点积分器 $\to$ 很大 → 稳态误差 $\to 0$。Erickson 的对照做法(eq 9.57-9.61,不同置点、同一 plant)把两零点拆开成 lead 零点 $fz=1.7$ kHz + 倒置零点 $fL=fc/10=500$ Hz、lead 极点 $fp=14.5$ kHz,得同样 $PM=52^{\circ }$、$T0=Tu0\cdot Gc0=8.6$($18.7$ dB);再算线纹波抑制:$vg$ 上 1 V/100 Hz 的整流纹波,经 $1/(1+T)$ 在 100 Hz 处衰减(倒置零点把 100Hz 增益再压 $\times (100/500)$),总 $-32.7$ dB → 输出只剩 23 mV/100 Hz($1\text{V}\times 10^{-32.7/20}=23.2$ mV)。

两种置点的工程判断:K-factor 把双零点重合在 $f0$(cookbook、对称、最大提相效率),Erickson 把它们拆开(一个当倒置零点专做低频积分、lead 零点单独提相),后者 lead 极点更低($14.5$ 而非 $28.9$ kHz)→ 高频噪声抑制更狠但提相效率略低。两者都是合法 Type-3,选哪种看你更缺"高频衰减"还是"提相余量"。

同样一台 Buck,若用峰值电流模式,plant 降成一阶,补偿降级到 Type-2。规格:$Vin=24$ V、$Vout=12$ V、$Io=3$ A($R=4\Omega$)、$fsw=300$ kHz、$L=20\mu H$、$Cout=10\mu F$、目标 $fc=30$ kHz$=fsw/10$。

第 1 步 plant。PCMC 控制-输出一阶,主极点 $fp=1/(2\pi RCout)=1/(2\pi \cdot 4\cdot 10\mu )=3.98$ kHz。在 fc 处幅值 $|Gp(fc)|=R/\sqrt{1+(2\pi fcRCout{)}^2}=4/\sqrt{1+(2\pi \cdot 30\text{k}\cdot 4\cdot 10\mu {)}^2}=4/\sqrt{1+7.54^2}=0.53$($-5.6$ dB);相位 ${\varphi }_{plant}=-{\tan }^{-1}(7.54)=-82.4^{\circ }$。

第 2 步 K-factor 定 Type-2。目标 $PM=60^{\circ }$ → 所需提相 $\text{boost}=PM-90^{\circ }-{\varphi }_{plant}=60-90-(-82.4)=52.4^{\circ }$。$K=\tan (45^{\circ }+52.4^{\circ }/2)=\tan (71.2^{\circ })=2.94$;置 $fz=fc/K=30\text{k}/2.94=10.2$ kHz、$fp=fc\cdot K=30\text{k}\cdot 2.94=88$ kHz(仍 $<fsw$,压 PWM 纹波)。误差放大器中频增益取 $1/|Gp(fc)|=1/0.53=1.9$($+5.6$ dB)使 $|T(fc)|=0$ dB。

第 3 步 验证。$PM=180+{\varphi }_{plant}+{\varphi }_c$,${\varphi }_c=-90+{\tan }^{-1}(fc/fz)-{\tan }^{-1}(fc/fp)=-90+{\tan }^{-1}(2.94)-{\tan }^{-1}(0.34)=-90+71.2-18.8=-37.6^{\circ }$;$PM=180-82.4-37.6=60.0^{\circ }$。✓ 对照旧版本 §7.4 那句"PM=148° 等等不对"——那是把补偿器提相直接加到 plant 相位、漏掉原点极点的 $-90^{\circ }$ 与 plant 已有的滞后,这里按 $\angle T$ 完整相加才对。Type-2 只需 1 零 + 1 极 + 积分器,比 Type-3 少一半元件——这正是 PCMC 的工程红利。

峰值电流模式有个 D 相关的失稳:占空比 $>0.5$ 时电感电流扰动逐周期放大,出现周期 2 的次谐振荡(Subharmonic Oscillation)。物理是几何的:一个电流扰动在导通段以斜率 $m1$ 涨、关断段以 $m2$ 落,理想无斜率补偿时下一周期扰动为

$D>0.5$ 即 $m2>m1$、比值 $>1$ → 扰动逐周期放大 → 失稳。解法是在电流反馈端叠加一条人造下降斜率 $Se$(斜率补偿),把有效比值压回 $<1$;经典判据

取 $Se=m2$(补一半到全)最优阻尼($fsw/2$ 采样双极点的 Q 恰到)。实操上控制 IC 内置斜率补偿,选型即选它(如 UC3842 vs UC3843 的固定斜率不同);外置则由一个 RC 从时钟锯齿注入。注意斜率补偿会抬高最小稳定电感下限——补太多会把 PCMC 拉向 VMC 特性、丢掉部分电流内环好处。详见PCMC Buck 控制环路。

DSP/MCU 做 SMPS 控制越来越多,数字补偿器把上面的 $Gc(s)$ 离散成差分方程 $u[n]=\sum ake[n-k]-\sum bku[n-k]$(通过 Tustin/零极点匹配把 s 域零极点映到 z 域)。它不改判稳几何,只改实现与约束:

数字实现要额外守两条:计算延迟(采样到 PWM 更新)等效一个纯延迟 $e^{-sTd}$,在 fc 处吃掉 $\varphi =-2\pi fcTd$ 的相位,设计时要预扣;量化/极限环(系数与 ADC/DPWM 分辨率有限)会在稳态留下小幅极限环振荡,需 DPWM 分辨率高于 ADC。典型用在数字电源、数字 PFC、PMBus 服务器电源。

公式都对,但真实调环翻车往往在这些"看着稳、实则咬人"的地方——逐条对照:

• 带宽别贪高:$fc>fsw/5$ 时 PWM 开关纹波与采样效应直接灌进环路、$fsw/2$ 采样极点吃相位;守 $fc\le fsw/10$。高 fc 换来的瞬态提升会被相位余量流失抵消。
• 零点位置错向:零点必须放在 fc 下方(提相),放到 fc 上方相位没提上来反而更糟;Type-3 双零点摞在 $f0$ 是安全起点。
• ESR 零点必须进模型:陶瓷电容低 ESR、$fesr$ 很高影响小;但铝电解/钽的 $fesr=1/(2\pi \text{ESR}Cout)$ 可能落在 fc 附近,凭空多个零点把相位/斜率改掉——测 ESR、进 plant 再补。低 ESR 换高 ESR 电容会让原本稳的环失稳。
• PCMC 无斜率补偿直接振:$D>0.5$ 必须斜率补偿;选内置 slope 的 IC,别指望"D 平时不到 0.5"——瞬态/启动会冲过去。
• 补偿网络电容用 C0G/NP0:X7R/X5R 的容值随直流偏压和温度大幅漂(可掉 50%+),会把 fz/fp 挪位;补偿 RC 对容差敏感,务必用 C0G/NP0,值算完留 E-series 可购档。
• Q0 随负载变:VMC 的 $Q0=R\sqrt{C/L}$,空载 R→大、Q→高,谐振峰顶起来可能顶破 0 dB 造成第二个穿越点;设计要在**最轻载(最高 Q)**核 PM/GM,不是只看满载。
• 仿真稳 ≠ 实测稳:模型漏了 PCB 寄生、采样延迟、gate driver 传播延迟;上频响分析仪(Bode 100 / Picotest J2120A 注入)实测 PM/GM,或注入负载阶跃看过冲($<30\%$、无持续振铃)才算数。

corner/权衡:带宽 vs 噪声(高 fc 快但纳噪);PM vs 带宽(高 PM 稳但过阻尼、瞬态钝);积分强度 vs 相位(倒置零点 $fL$ 越靠近 fc 低频抑制越强、但越吃 fc 相位,$fL=fc/10$ 是安全折中);Type-2 vs Type-3(少一半元件、少一个精算维度 vs 能补二阶大相位)。

• failure_mode · failure_mode_rhp_zero_oscillation — Right-Half-Plane Zero Oscillation