三相系统与 Clarke/Park 变换 — 把 AC 控制变成 DC 控制

PMSM 三相绕组在空间上错开 120°，转子永磁体旋转时在三相分别感应出 120° 相差的反电势，并通过互感互相耦合。a 相电压方程：

${\psi }_a$ 同时依赖三相电流和转子位置 ${\theta }_e$，意味着控制 $ia$ 就必须同时考虑 $ib$、$ic$ 和转子角。这不是工程缺陷，而是三相绕组的物理结构决定的强耦合。

PI 的核心假设是"稳态误差趋零、积分消差"，适用于 DC 设定值。abc 坐标系的稳态电流：

追踪这个时变设定值需要无限带宽——实际带宽有限，总有幅值衰减和相位滞后，三相耦合再叠加更使控制几乎无法整定。FOC 的出路：换坐标系，把 AC 问题变 DC 问题。

三相平衡系统满足 $ia+ib+ic=0$，这意味着三相只有两个独立变量。Clarke 变换就是把这两个独立维度显式化：把三个空间上 120° 错开的轴投影到 $\alpha$ 轴（沿 a 轴方向）和 $\beta$ 轴（垂直于 a 轴，在 abc 平面内）。投影后的 $\alpha \beta$ 向量在稳态下以 ${\omega }_e$ 匀速旋转，幅值恒定。

从几何投影导出三相到 $\alpha \beta$ 的变换矩阵。三相单位向量为：

$\alpha$ 分量等于各相电流在 $\hat{a}$ 方向的投影之和，$\beta$ 分量等于各相在 $\hat{\beta }$ 方向的投影之和：

系数 $k1$ 的选择产生两种约定：

幅值不变约定（Amplitude-invariant, AI）：令 $k1=2/3$，使得三相平衡正弦输入下 $|i_{\alpha }+j{i}_{\beta }|=Im$（等于相电流峰值）：

功率不变约定（Power-invariant, PI / Concordia 变换）：令 $k1=\sqrt{2/3}$，使得瞬时功率 $p=v_{\alpha }{i}_{\alpha }+v_{\beta }{i}_{\beta }$（无 $3/2$ 因子，功率守恒）：

工程结论：选定约定后全链路必须一致——正变换用了 $2/3$ 则反变换、功率计算、转矩公式都要配套。混用是最常见的 bug 来源（见 §6 G1）。

Concordia 变换（Concordia 1951）在电力系统分析中被独立命名，本质等同于功率不变 Clarke。区别在于领域：电机控制文献多叫功率不变 Clarke；电力系统文献多叫 Concordia 变换。两者系数相同（$\sqrt{2/3}$），矩阵结构完全一致，可互换使用——混用文献时需要确认是哪种命名。

完整的 Clarke 变换包含零序分量 $i0=(ia+ib+ic)/3$。三相三线系统（无中线，EV 主驱标准拓扑）中 $i0\equiv 0$，工程实现跳过此维度；三相四线系统（有中线接通）或绕组中点接通时 $i0\ne 0$，需要完整 $3\times 3$ 变换。

以电角度 ${\theta }_e$ 为参数的 $2\times 2$ 旋转矩阵：

物理含义：$\alpha \beta$ 平面里稳态电流向量以 ${\omega }_e$ 旋转；新坐标系同样以 ${\omega }_e$ 旋转跟随；相对静止 → dq 分量为 DC。这是 FOC 的"魔法"，AC 变 DC 只靠一次角度跟随。

dq 坐标系与 PMSM 的磁结构对齐，两轴有明确的物理意义。

• d 轴（direct axis）：沿转子永磁体磁极方向。$id<0$ 削弱磁通（弱磁控制，高速扩速）；$id=0$ 时磁通由 ${\psi }_f$ 单独决定。
• q 轴（quadrature axis）：与 d 轴正交，产生转矩方向。$iq$ 与永磁磁通相互作用 → 转矩 $Te\propto iq$（忽略磁阻转矩时）。

IPMSM（$Ld\ne Lq$）完整转矩（幅值不变约定）：

第一项为永磁转矩，第二项为磁阻转矩；MTPA 控制通过选取最优 $(id,iq)$ 使电流幅值最小而转矩最大。

Park 变换的精度上限由 ${\theta }_e$ 精度决定：

• Resolver + RDC：EV 主驱标配，典型精度 ±0.1°–0.3°；详见 Resolver/RDC
• 高分辨率编码器：机器人、精密伺服
• 无传感器观测器（SMO/EKF/HFI）：低成本场合，低速性能差

${\theta }_e$ 误差 $\Delta \theta$ 在 Park 矩阵中产生交叉耦合项 $\approx \Delta \theta \cdot Im$（小角近似 $\sin \Delta \theta \approx \Delta \theta$）。1° 误差在 220A 下耦合约 3.8A 到另一轴（$\sin (1{}^{\circ })\times 220\text{A}\approx 3.84\text{A}$），引起转矩脉动。

Park 矩阵是正交矩阵（行向量互相垂直且单位长度），逆矩阵即转置——两种约定下 Park 的 $2\times 2$ 旋转块都是正交的：

注意与正变换比较：$\cos {\theta }_e$ 对角，$\pm \sin {\theta }_e$ 换了符号。

功率不变约定：变换矩阵为正交方阵（$3\times 2$ 部分），反变换等于转置，无额外因子：

幅值不变约定：正变换矩阵 $\mathbf{C}$ 是 $2\times 3$ 非方阵；反变换需右伪逆，等效于正变换系数 $2/3$ 被"吸收"到正变换侧，逆 Clarke 矩阵系数只含 $1$、$-1/2$、$\pm \sqrt{3}/2$：

幅值不变约定下，若 $v_{\alpha }=Vm$，则 $va=Vm$（幅值不变约定保持幅值），与直觉一致。

逆 Park 变换把已知的 dq 电流旋转到静止 αβ 坐标系。

幅值核验：$\sqrt{i_{\alpha }^2+i_{\beta }^2}=\sqrt{213.9^2+130.5^2}=\sqrt{45753+17030}=\sqrt{62783}\approx 250.6\text{A}\approx Im$ ✓

幅值不变约定下，逆 Clarke 用两相 αβ 恢复三相 abc 电流，系数见 §4.2。

自洽核：$ia+ib+ic=-214+220-6=0$ ✓（三线无中线约束满足）

将三相电流送入正 Clarke，验证 αβ 分量与 Step 1 的值一致。

$i_{\alpha }^{\prime }=\frac{2}{3}\left(ia-\frac{ib}{2}-\frac{ic}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(-214-110+3\right)=\frac{2}{3}(-321)=-214.0\text{A}\approx -213.9\text{A}$ ✓

$i_{\beta }^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(ib-ic)=\frac{2}{3}(0.866)(226)=\frac{2}{3}(195.7)=130.5\text{A}$ ✓

将 αβ 分量送入正 Park，验证 dq 分量回到原始设定值。

$i{d}^{\prime }=i_{\alpha }\cos {\theta }_e+i_{\beta }\sin {\theta }_e=(-214)(0.866)+(130.5)(0.500)=-185.3+65.3=-120.0\text{A}$ ✓

$i{q}^{\prime }=-i_{\alpha }\sin {\theta }_e+i_{\beta }\cos {\theta }_e=(214)(0.500)+(130.5)(0.866)=107.0+113.0=220.0\text{A}$ ✓

正反变换完全自洽：$(i{d}^{\prime },i{q}^{\prime })=(-120,220)\text{A}$，即原始设定值。

工作点 dq 电压（MTPA，${\omega }_e=1662\text{rad/s}$，幅值不变约定）：

裕量核：$|V|=233\text{V}\approx Vmax=231\text{V}$（差 0.9%，源于工作点 $id=-120\text{A}$ vs 精确 MTPA 点 $-122\text{A}$ 的舍入）。此工况处于基速电压极限——任何进一步增速须切弱磁，将 $id$ 更负以维持 $|V|\le Vmax$。

逆 Park：

逆 Clarke（幅值不变约定，系数见 §4.2）：

自洽核：$va+vb+vc=-229+75+154=0$ ✓；$\sqrt{v_{\alpha }^2+v_{\beta }^2}=\sqrt{229^2+45.5^2}=\sqrt{54511}\approx 233\text{V}$ ✓。SVPWM 输出覆盖三相参考电压，峰值 $|va|=229\text{V}<Vmax=231\text{V}$，在线性调制区间内。

症状：切换电机控制库（从 TI 迁到 ST，或引用论文公式）后，同样的 $i{q}^{\ast }$ 命令，实际转矩偏低 22% 或偏高 22%，且 PI 积分无法消差（因为本来就是"稳态"）。根因：幅值不变的 $iq=Im$，而功率不变的 $iq=\sqrt{3/2}Im$——两者差因子 $\sqrt{3/2}\approx 1.225$。避免：进任何新代码库第一件事，在 Clarke 变换行找到系数（$2/3$ vs $\sqrt{2/3}$），确认约定，统一一套后别混。

症状：幅值不变约定下，用 $P=vdid+vqiq$ 计算瞬时功率，结果比实测低 33%。根因：幅值不变约定的正确功率公式是 $P=(3/2)(vdid+vqiq)$，$3/2$ 来自变换系数。功率不变约定下无此因子。避免：电机效率分析时确认约定，查 dq 功率公式时看前面有没有 $3/2$。

症状：电机在低转速正常，随速度提升 Park 解耦退化，实测 $id$、$iq$ 出现以机械频率（非电频率）的振荡。根因：Park 要求电角度 ${\theta }_e=p\cdot {\theta }_m$（$p$ 为极对数），若误用机械角 ${\theta }_m$ 则 dq 坐标系转速只有正确值的 $1/p$，不跟转子同步。常见于：Resolver/RDC 输出机械角时未乘 $p$；代码里把 theta_e 用 theta_mech 赋值。

症状：低速控制完美，高速时（$>3000\text{rpm}$）$id$ 出现持续振荡，转矩出现明显脉动（2–5%）。根因：控制周期中从采样 ${\theta }_e$ 到 PWM 输出有 1–2 个 $Tsw$ 延迟；电机已旋转了 $\Delta \theta ={\omega }_e\cdot \Delta t$，Park 变换用的是"过时"角度。在弱磁区 ${\omega }_e=3300\text{rad/s}$、$Tsw=50\mu \text{s}$ 下，$\Delta \theta =3300\times 50\times 10^{-6}=0.165\text{rad}\approx 9.4{}^{\circ }$，产生的 dq 耦合项 $\approx \sin (9.4{}^{\circ })\times Im\approx 0.163\times 250\approx 41\text{A}$。修复：用角度预测 ${\theta }_{e,pred}={\theta }_e+{\omega }_e\cdot Ndelay\cdot Tsw$ 补偿，或提高控制频率减小 $\Delta t$。

症状：零电流附近 $i_{\alpha }$、$i_{\beta }$ 有直流偏置，MTPA 低速时 $id$ 有稳态偏差。根因：三相逆变器的死区（dead time）期间，三相同时关断，电流方向不同的续流路径使 $ia+ib+ic$ 短暂不为零，零序分量涌入 Clarke 输出。修复：①死区补偿（在 PWM 指令里加死区预补偿脉冲）；②两相测量 Clarke（直接从 $ia$、$ib$ 用 $ic=-ia-ib$ 推，保证零序为零）。

症状：控制环路稳定、$id$/$iq$ 响应正确，但实测三相电压/电流比期望小约 $2/3$（表现为达不到额定转矩、PWM 占空比下限）。根因：幅值不变约定下，逆 Clarke 矩阵系数是 $1/(-1/2)/(\pm \sqrt{3}/2)$；若误用了正变换的 $2/3$ 因子去"还原"，输出只有正确值的 $2/3$。关键验证：输入已知 DC 的 $id=I0$、$iq=0$，完整正反变换，检查输出三相是否退化为均等 DC 分量，幅值是否等于 $I0$。

症状：同一台电机，用"Concordia"文献的转矩公式 $Te=p[{\psi }_{f}iq+(Ld-Lq)idiq]$ 后结果正确，用"幅值不变 Clarke"的同名公式差 $3/2$。根因：Concordia = 功率不变 Clarke；"幅值不变"下转矩公式必须带 $3/2$ 前缀。电力系统文献中"Clarke"几乎都是 Concordia（功率不变），而电机控制 SDK 几乎都是幅值不变——跨领域引用前必须确认系数。

在弱磁运行时，$id$ 可降至 $-300\text{A}$ 以上（远超 MTPA 设计点）；$i_{\alpha }=id\cos {\theta }_e-iq\sin {\theta }_e$ 幅值 $\approx \sqrt{i{d}^2+i{q}^2}$，若电流归一化的标幺基值取额定 MTPA 电流 250A，则弱磁时标幺值 $>1.2$，Q1.15 格式（范围 $[-1,1)$）直接溢出。处理：弱磁场景把归一化基值设为最大可能电流（通常额定值的 1.5–2×），或在 Clarke/Park 前加饱和限幅；同时注意 $\sin /\cos$ 查表必须精度足够（16 位至少 11 位有效位），否则角度解析误差在弱磁时耦合放大。

Resolver 的初级和次级变压器线圈电阻随温度变化，$-40{}^{\circ }\text{C}$ 时信号幅值和相位均漂移；RDC 内部参考振荡器若未温补则输出频率有偏差，导致 ${\theta }_e$ 误差增至 1–3°。在低速（${\omega }_e<200\text{rad/s}$）时，1° 误差引起耦合电流约 4.4A（$=\sin (1{}^{\circ })\times Im$），对 $id$/$iq$ 影响约 1.7%，可接受；但在弱磁高速（${\omega }_e=3300\text{rad/s}$）同样 1° 误差叠加角度延迟，总耦合误差可达 50A 量级，引发明显转矩脉动。处理：① RDC 输出加温度相位补偿表（校准 $\Delta \varphi (T)$）；② 冷启动限速到低速范围，待 Resolver 达稳态温度后再提速。

症状场景：逆变器某桥臂 IGBT/SiC 永久关断（SC → 软关断后锁死），或熔丝断路，导致一相电流为零（如 $ic=0$）。此时 $ia+ib+ic=ia+ib\ne 0$，传统三相 Clarke 的"无零序"前提被打破，$i_{\alpha }$、$i_{\beta }$ 含直流偏置，Park 变换出现 DC 误差，$id$/$iq$ 无法正确控制。

正确处理：切换到两相 Clarke（直接从两路有效相测量推算），设 $ic$ 相断路：

这组公式在 $ia+ib+ic=0$ 约束下等价于三相 Clarke，但只依赖 $ia$、$ib$，不受 $ic=0$ 断路影响。系统可以在两相供电模式下降额运行（最大转矩约降至 57%），维持受控减速到安全状态。