PI 控制环路设计方法论 — 带宽 / 裕度 / 极点配置

外环带宽 < 内环 / 10,确保内环动态对外环表现为常数。

如果内外环带宽接近 → 环间相互振荡(内环响应变化看上去像外环在抖)。

电流环 上限由 PWM 频率决定:

电流环带宽 > fsw/5 → 控制器试图调整比开关周期更快的事件 → 噪声放大 + 不稳定。

速度环 上限由机械时间常数决定:

J = 转动惯量,B = 阻尼系数。机械响应慢,速度环不能比机械极点快 5 倍以上。

位置环 上限由速度环带宽决定。

带宽高:

• 优点:响应快,扰动抑制好
• 缺点:噪声放大,EMI 灵敏度高,采样要求严

带宽低:

• 优点:稳定,抗噪声,采样简单
• 缺点:响应慢,负载阶跃恢复时间长

实务:取物理上限的 1/3 - 1/2(留余量给老化 / 温度漂移 / 参数变化)。

电机相电压 → 电流的传递函数:

L = 相电感,R = 相电阻。这是一阶系统,极点 -R/L。

这一节先说明“PI 控制器”为什么需要形式化表达，后面的公式用于把变量关系明确写出来。

把 Ki 改写为 Kp · ω_z(零点频率 ω_z = Ki / Kp):

PI + plant 开环:

让 PI 零点抵消 plant 极点(零极对消):

剩下开环传递函数:

闭环带宽:

设计目标 ω_bw → 算 Kp, Ki:

电机:R = 10 mΩ, L = 0.5 mH。设计 ω_bw = 1 kHz × 2π = 6280 rad/s。

• Kp = 0.5e-3 × 6280 = 3.14
• Ki = 10e-3 × 6280 = 62.8

闭环带宽 1 kHz,稳态零误差(I 项保证),动态抖动小。

这一节先给出“定义”需要同时考虑的几个判断点，后面的条目按工程优先级展开。

• 相位裕度 PM:开环增益 = 0 dB 处,相位距 -180° 的余量
• 增益裕度 GM:开环相位 = -180° 处,增益距 0 dB 的余量

这一节先给出“工程要求”需要同时考虑的几个判断点，后面的条目按工程优先级展开。

• PM ≥ 60°(典型,稳定且阻尼好)
• GM ≥ 6 dB(2× 增益变化也稳定)
• PM < 30° → 振荡,响应有大超调
• PM < 0° → 不稳定

零极对消后开环 L(s) = Kp / (sL),纯积分器 → 相位 -90° → PM = 90°(理想)。

但加上:

• 计算延迟 (PWM 半周期 + 计算延迟)→ 相位滞后 ω · T_delay
• 离散化(零阶保持 ZOH)→ 相位滞后 ω · Ts/2
• 滤波器(ADC 抗混叠 / EMI 滤波)→ 额外相位滞后

实际 PM = 90° - ω_bw × (T_delay + Ts/2 + T_filter) × 180°/π

例:ω_bw = 6280, T_delay = 100 µs → PM 损失 6280 × 1e-4 × 57.3° = 36° → 实际 PM ≈ 54°(刚好 OK)。

经验值:计算延迟 + ZOH ≈ 1.5 × Ts,所以 ω_bw × Ts < 0.3 rad/sample 才能保 PM > 60°。即 ω_bw < 0.3 × f_sample × 2π / 6.28 = 0.05 × f_sample——采样频率必须 > 20× 带宽。

f_sample / fbw 比值:

• 5×: 不稳定 / 振荡
• 10×: PM ≈ 30°,响应有超调
• 20×: PM ≈ 60°,健康
• 50×: PM ≈ 80°,过阻尼

EV 主驱:fsw = 10 kHz, 双采样 = 20 kHz → 电流环带宽 1 kHz(20×)是合理上限。

连续域 G(s) → 离散域 G(z):

PI 数字实现(C 代码):

// 连续: K_p + K_i/s
// 离散 Tustin: 
e[n] = ref - meas;
i_acc += K_i * T_s * (e[n] + e[n-1]) / 2;  // 梯形积分
out[n] = K_p * e[n] + i_acc;
e[n-1] = e[n];

这一节先说明“后向欧拉(简化版)”为什么需要形式化表达，后面的公式用于把变量关系明确写出来。

// 离散 后向欧拉 PI
e[n] = ref - meas;
i_acc += K_i * T_s * e[n];
out[n] = K_p * e[n] + i_acc;

简单,但相位精度比 Tustin 略差(在带宽 1/5 内忽略)。

这一节先给出“增量式 vs 位置式”需要同时考虑的几个判断点，后面的条目按工程优先级展开。

• 位置式:输出 = Kp·e + ∫Ki·e (绝对值)
• 增量式:Δout = Kp·(e[n] - e[n-1]) + Ki·Ts·e[n]

工程实务:增量式更适合 anti-windup(直接限制 Δout 而非 iacc)。

PI 控制器输出受物理限幅(如 PWM duty 0-100%)。如果误差长期同号 → 积分项无限累加 → 解除限幅后控制器需要很久才能"放空积分项" → 大超调。

方案 1: Back-Calculation(反算)

out_raw = K_p * e + i_acc;
out_sat = saturate(out_raw, -MAX, +MAX);
i_acc -= K_aw * (out_raw - out_sat);  // 把"溢出"部分反向作用到积分项

Kaw 典型 1/Taw, Taw = 0.5 - 1 × Ts。

方案 2: Conditional Integration(条件积分)

if (output_unsaturated || (error_sign != saturated_direction)) {
    i_acc += K_i * T_s * e;
}

只有"输出未饱和" 或 "误差方向与饱和方向相反" 时才积分。

方案 3: Clamping(钳位)

i_acc += K_i * T_s * e;
i_acc = saturate(i_acc, -I_MAX, +I_MAX);  // 限幅积分项本身

简单粗暴,但 IMAX 难调(太小响应慢,太大无效)。

EV 主驱主流: 方案 1 back-calculation(平滑,对参数不敏感)。 家电 / 简单场景: 方案 3 clamping(简单)。

这一节先给出“FOC 电流环(已在 topic-foc §8 给出)”需要同时考虑的几个判断点，后面的条目按工程优先级展开。

• 对象:R + sL(单相)
• 设计:ω_bw_current = 1-2 kHz
• Kp = L · ω_bw, Ki = R · ω_bw
• 加 dq 解耦前馈 + BEMF 前馈

被控对象:

Kt = 转矩常数, J = 转动惯量, B = 阻尼。

PI:

• ω_bw_speed = ω_bw_current / 10
• K_p_speed = J · ω_bw_speed / Kt
• K_i_speed = K_p_speed · ω_bw_speed / 5(经验比)

被控对象:Vbus 电容 + 平均功率传输模型。

• ω_bw_voltage < 20 Hz(避开二次纹波 100/120 Hz)
• 速度慢,但稳定性优先

被控对象:LC 滤波器(2 阶) + 模式特性。

• 电流模式控制(PCMC):内电流环将电感等效为电流源 → 简化外电压环
• 电压模式控制(VMC):必须补偿 LC 双极点
• ω_bw_voltage = 5-20 kHz(典型)

详见 PCMC Buck 控制环。

电机相电阻 R 随温度变化(铜线温度系数 0.4%/°C),20-150°C 漂 1.5×。Ki 应该随 R 自适应(温度查表 / 在线辨识),否则带宽随温度变。

ω_bw × Ts > 0.3 rad → PM 损失大。Ts 必须 < 1/(20 × ω_bw / 2π)。

ADC 前的抗混叠 LPF(典型 fsw/2)会在带宽内贡献 -10° 到 -20° 相位 → 必须计入裕度计算。

控制算法在 PWM 中断里跑,实际输出在下一个 PWM 周期生效 → 延迟 0.5-1 × Ts → 计入相位损失。

Ki 太小 → 积分项每步增量 < 1 LSB → 死区。增量式 / 双精度浮点 / 32-bit 累加器解决。