变换器 AC 小信号建模 — 从开关到传递函数与环路对象

开关电源L4别名 AC 小信号建模 · 变换器动态建模 · averaged model · 状态空间平均 · state-space averaging · canonical model · DC transformer model · 平均开关模型 · Gvd · control-to-output · RHP zero · current-programmed control · 峰值电流模式建模 · 斜率补偿 · sampled-data model · 更新 2026-07-08

本质与导读

本质开关变换器是非线性时变系统(开关产生 $f s w$ 及其谐波),拉普拉斯/频率响应这些 LTI 工具不能直接套。把它变成可设计对象的因果链只有三步:平均(在一个开关周期上取移动平均、滤掉纹波只留低频)→ 扰动(每个量写成直流 + 小信号 $X + \overset{x}{^}$ )→ 线性化(丢掉两个小信号相乘的二阶项)。静态版就是 Ch3 的 DC transformer(顺带给出效率与损耗),动态版把同一套"平均→建等效电路"搬到低频交流,产出 canonical 模型与传递函数 $G v d$ / $G v g$ ——boost/buck-boost 的 RHP 零点正是从这里的 $e (s)$ 冒出来的,电流模式那个 $f s w /2$ 采样极点也在这条链的末端。这是从稳态直觉跨到控制环设计的系统性桥梁。

主线坐标:开关电源主线 · 站③/④ 动态建模(系统性 keystone)· ↑ 全景主线

1. 为什么变换器不能直接套 LTI

变换器要靠反馈稳压(抗输入波动、抗负载变化),而设计反馈环需要一个动态模型:输入扰动、负载扰动、占空比扰动怎样影响输出。可开关一斩,波形里就有开关频率、其谐波、以及调制边带——这是个非线性时变系统,而拉普拉斯变换、频率响应只对**线性时不变(LTI)**系统成立。

出路是抓主要矛盾:一个设计良好的 CCM 变换器纹波很小,我们只关心远低于 $f s w$ 的调制频率成分。类比二极管 i-v 曲线在工作点处按斜率线性化,变换器也可以在静态工作点处线性化——只不过因为 L、C 让增益有频率响应,必须线性化平均后的微分方程,而不只是静态 $M (D)$ 曲线。全页贯穿一条 Erickson 式方法论:不硬解代数方程,而是构造一个 Kirchhoff 回路/节点方程与平衡方程完全同形的等效电路——静态、动态、电压模式、电流模式,同一套手法反复用,出错更少。

2. 静态基石:DC transformer 与含损耗模型

在做动态之前,Ch3 先给出静态模型。理想变换器功率守恒 $V g I g = V o u t I$ ,配合 $V o u t = M (D) V g$ ,得 $I g = M (D) I$ ——电压和电流以同一个比 $M (D)$ 变换。这恰好是一个理想变压器的方程,只是它变换的是直流:所以把变换器画成一个匝比 $1 : M (D)$ 的"直流变压器",符号上用一条实心横杠标记它能过直流(真实磁变压器会被直流饱和)。它的威力在于:D 恒定时模型时不变,普通电路手法(戴维南等效、阻抗折算)全能用——把戴维南源 $V 1, R 1$ 推过 $1 : M$ 变压器到次级,得 $M (D) V 1$ 与 $M^{2} (D) R 1$ ,再用分压律即可求解。

把电感铜阻 RL 串进去重做 boost 的伏秒/安秒平衡(小纹波近似 $i \approx I$ 、 $v \approx V$ ),得到带损耗下垂的变比。关键手法不是硬解那个代数式,而是构造一个回路/节点方程与平衡方程同形的电路: $V g$ 项→源、 $I R L$ →电阻、 $D^{'} V$ →受控电压源、 $V / R$ →电阻、 $D^{'} I$ →受控电流源;两个系数都是 $D^{'}$ 的受控源塌成一个 $D^{'} : 1$ 理想 DC 变压器。把 $V g$ 、 $R L$ 折算到次级(除以 $D^{'}$ 、除以 $D^{'2}$ )再分压,精确复现代数解:

\frac{V}{V g} = \frac{1}{D ^{'}} \cdot \frac{1}{1 + R L / ( D ^{'2} R )}, η = \frac{1}{1 + R L / ( D ^{'2} R )}, D^{'} = 1 - D

这解释了 Boost 高 D 时效率崩塌: $D \to 1$ 时 $D^{'} \to 0$ , $R L / (D^{'2} R)$ 项发散, $V / V g$ 曲线掉头趋零而非趋无穷、 $η \to 0$ (D=1 时电感根本不接负载,功率 $V g^{2} / R L$ 全烧在 RL 上)——理想 $1/ D^{'}$ 模型看不到这个物理上限。半导体导通损耗也用同法折进:MOSFET 的 Ron 变成占空比加权的 $D R o n$ 、二极管的 $V D + R D$ 变成 $D^{'} R D$ 与源 $D^{'} V D$ :

η = \frac{1 - D ^{'} V D / V g}{1 + ( R L + D R o n + D ^{'} R D ) / ( D ^{'2} R )}

为什么寄生电阻是占空比加权的(易被误解):模型预测 MOSFET 损耗 $I^{2} D R o n$ ;实际只在导通那段(占比 D)有 $I^{2} R o n$ ,一周期平均正是 $D I^{2} R o n$ ——两者相符。但这个"平均模型"只在小纹波下精确。Table 3.1 量化了平均模型相对纹波 $Δ i$ 的误差:

电流纹波 $Δ i$	RMS 电流	相对导通损耗	平均模型误差
$0$	$I D$	$D I^{2} R o n$	精确
$0.1 I$	$\approx I D$	$\approx 1.0033 D I^{2} R o n$	+0.33%
$I$ (大纹波)	$1.155 I D$	$1.333 D I^{2} R o n$	+33%

结论:DC/平均模型的导通损耗只在小纹波下可信,大纹波(如 DCM 边界附近)必须用 $I r m s^{2} R$ 而非 $D I^{2} R o n$ 。整机损耗预算见损耗预算与效率。

3. 三步法:平均 → 扰动 → 线性化

这是全页的核心因果链,任何变换器都靠它建模。以 buck-boost 为例,平均后的非线性方程(Eq 7.29)为 $L \frac{d ⟨ i ⟩}{d t} = d ⟨ v g ⟩ + d^{'} ⟨ v ⟩$ 、 $C \frac{d ⟨ v ⟩}{d t} = - d^{'} ⟨ i ⟩ - ⟨ v ⟩ / R$ 、 $⟨ i g ⟩ = d ⟨ i ⟩$ ——非线性,因为控制量 $d (t)$ 乘着状态量。

AC 小信号建模三步因果链:① 平均——对每个量在一个开关周期上取移动平均⟨x⟩Ts,滤掉 fsw 及谐波,得到非线性的平均方程(含 d·⟨x⟩ 乘积项);② 扰动——每个量写成直流+小信号 X+x̂,d=D+d̂;③ 线性化——展开后 DC 项自相消、一阶项保留、二阶项(两个小信号相乘)丢弃,得到 LTI 小信号微分方程。右侧标注每步产出

第一步平均:定义移动平均 $⟨ x (t)⟩ = \frac{1}{T s} \int x d τ$ ,它是个低通,滤掉 $f s w$ 及谐波、保留低频幅相。平均后的电感、电容仍满足原定义关系 $L \frac{d ⟨ i ⟩}{d t} = ⟨ v L ⟩$ 、 $C \frac{d ⟨ v ⟩}{d t} = ⟨ i C ⟩$ 。但代入开关动作后,平均方程里出现 $d (t) ⟨ x ⟩$ 这样的乘积项——两个时变量相乘会产生谐波,所以平均方程仍是非线性的。small-ripple 近似只能用在非脉动的小纹波量(电感电流、电容电压)上。

第二步扰动:每个量写成静态工作点加小信号: $⟨ i ⟩ = I + \hat{i}$ 、 $⟨ v ⟩ = V + \overset{v}{^}$ 、 $v g = V g + \overset{v g}{^}$ 、 $d = D + \hat{d}$ 。关键的符号翻转在这里: $d^{'} = 1 - d = D^{'} - \hat{d}$ ——控制驱动就是从这个负号进入模型的,丢了它模型就废了。buck-boost 的静态解(Eq 7.30): $V = - \frac{D}{D ^{'}} V g$ 、 $I = - \frac{V}{D ^{'} R}$ 、 $I g = D I$ 。

第三步线性化:代入展开,出现三类项——直流项(由静态解相消为零)、一阶交流项(线性,保留)、二阶交流项(两个小信号相乘,如 $\hat{d} \overset{v g}{^}$ ,在 $∣ \hat{d} ∣ ≪ D$ 下远小于一阶项,丢弃)。剩下的就是 LTI 小信号方程(buck-boost,Eq 7.37/7.40/7.43):

L \frac{d i ^}{d t} = D \overset{v g}{^} + D^{'} \overset{v}{^} + (V g - V) \hat{d}, C \frac{d v ^}{d t} = - D^{'} \hat{i} - \frac{v ^}{R} + I \hat{d}, \hat{i g} = D \hat{i} + I \hat{d}

这等价于在工作点做泰勒展开、只留常数与一次项——系数就是偏导 $\partial f 1/ \partial v g = D$ 、 $\partial f 1/ \partial v = D^{'}$ 、 $\partial f 1/ \partial d = V g - V$ 。非线性负载也照此处理( $\hat{i} = \overset{v}{^} / R$ , $1/ R$ 取工作点微分电导)。

4. 把小信号方程重建成等效电路

和 Ch3 一样,把每个线性化后的方程读成一个电路。电感方程 $L d \hat{i} / d t = D \overset{v g}{^} + D^{'} \overset{v}{^} + (V g - V) \hat{d}$ 是一条 KVL 回路(回路电流 $\hat{i}$ ):里面 $D \overset{v g}{^}$ 、 $D^{'} \overset{v}{^}$ 这类依赖源变成理想变压器绕组,而 $(V g - V) \hat{d}$ 这类由控制量 $\hat{d}$ 驱动的项变成独立源;电容方程是一条 KCL 节点, $I \hat{d}$ 是控制驱动的独立电流源;输入方程 $\hat{i g} = D \hat{i} + I \hat{d}$ 也是节点。

把依赖源并成理想变压器后,就得到小信号等效电路(变压器上画个正弦标记表示这是交流模型)。Buck-Boost 的模型同时含 $1 : D$ 与 $D^{'} : 1$ 两个变压器,正对应它是 Buck+Boost 的级联——也正因为电感被"推过"了 $D^{'} : 1$ 变压器,它在输入侧折算出的有效电感是 $L / D^{'2}$ 而非 $L$ (阻抗按匝比平方缩放),这是下一节 canonical 模型里所有显著特征随 D' 移动的根源。这个等效电路可用普通线性电路分析求传递函数与阻抗。

5. PWM 建模 — 增益 1/VM 与采样带宽墙

控制量怎么进模型?PWM 把控制电压 $v c (t)$ 与峰峰值 $V M$ 的锯齿波比较, $v c$ 高于锯齿时输出高电平。对线性锯齿, $d (t) = v c (t) / V M$ 。扰动后 $D = V c / V M$ 、 $\hat{d} = \overset{v c}{^} / V M$ ——PWM 就是一个常数增益 $1/ V M$ ,把 $\overset{v c}{^}$ 送进上一节的 $\hat{d}$ 端口。这个 $1/ V M$ 是设计者手里的一个免费缩放旋钮: $V M$ 越大,环路增益越低。

但常数增益只是一阶近似。PWM 还采样:每个开关周期只产生一个占空比值,而且采样时刻落在被调制的那条边沿上(前沿调制里是下降沿)。这把可用控制带宽限制在远低于 $f s w /2$ (奈奎斯特),严格处理要用采样数据/等效保持模型(见 §10 电流模式)。另外, $v c (t)$ 上的开关纹波会恶化 PWM 的噪声裕度。工程上,采样效应加上"补偿器极点必须在 $f s w$ 前把增益滚掉以保护 PWM"这条约束,把实际穿越频率压在 $f s w /20$ 到 $f s w /10$ 之间(§9 的 worked example 取 $f s w /20$ )。

6. Canonical 模型:传递函数的通用出处

所有 CCM PWM 变换器共享三件事:直流变换、低通滤波、占空比控制。所以存在一个 canonical(标准)电路模型,任何 CCM PWM 变换器都能化成它——三个元件:① 理想 $1 : M (D)$ 变压器(把直流与交流一起变换);② 有效低通滤波器 $H e (s)$ (L、C 滤纹波,但元件值是有效值、随工作点变,如 boost/buck-boost 的 $L e = L / D^{'2}$ );③ 两个被 $\hat{d}$ 驱动、折算到输入侧的控制源——电压源 $e (s) \hat{d}$ 与电流源 $j (s) \hat{d}$ 。

Canonical 小信号模型与传递函数:左为标准电路(输入 v̂g → 1:M(D) 理想变压器 → 有效低通 He(s) → 输出 v̂;控制源 e(s)d̂、j(s)d̂ 折算到输入侧);右上 Gvg=M·He(仅极点,无零点),Gvd=e(s)·M·He(极点+e(s) 的零点);右下 Table 7.1:Buck e(s)=V/D²(无 RHP 零点)、Boost e(s)=V(1-sL/D'²R)(RHP 零点 s=D'²R/L)、Buck-Boost e(s) 含 sDL/D'²R 项(RHP 零点)

从 canonical 模型直接读出三个关键传递函数(Eq 7.86–7.88):

G v g (s) = \frac{v ^}{v g ^} = M (D) H e (s), G v d (s) = \frac{v ^}{d ^} = e (s) M (D) H e (s), Z o u t (s) = Z e 0 (s) R

线到输出 $G v g$ 只有 LC 的极点、没有零点;控制到输出 $G v d$ 在极点之外多了 $e (s)$ 的零点。 $e (s)$ 之所以带频率依赖,是因为把输出侧的 $I \hat{d}$ 电流源推过电感时引入了 $s$ 项:buck-boost 的 $e (s) = - \frac{V}{D ^{2}} (1 - \frac{sD L}{D ^{'2} R})$ (Eq 7.90),那个 $s$ 项就是 RHP 零点的来源。对 Buck, $e (s) = V / D^{2}$ 是常数,故无 RHP 零点、最好补偿。三拓扑的 canonical 参数汇总:

变换器	$M (D)$	有效电感 $L e$	$e (s)$	$j (s)$
Buck	$D$	$L$	$V / D^{2}$ (常数)	$V / R$
Boost	$1/ D^{'}$	$L / D^{'2}$	$V (1 - s L / (D^{'2} R))$	$V / (D^{'2} R)$
Buck-Boost	$- D / D^{'}$	$L / D^{'2}$	$- \frac{V}{D ^{2}} (1 - sD L / (D^{'2} R))$	$- V / (D^{'2} R)$

7. 状态空间平均 — 矩阵形式的保证

§3 是"看方程建电路"的直觉法;状态空间平均(SSA)把同样的平均-扰动-线性化写成矩阵,好处是只要能写出各子区间的状态方程,就一定能推出小信号模型——不依赖对电路的洞察。系统写成 $K \frac{d x}{d t} = A x + B u$ 、 $y = C x + E u$ ,其中 x 是独立的电感电流与电容电压,K 装 L、C 值。两个子区间各是线性电路 $(A 1, B 1, C 1, E 1)$ 、 $(A 2, B 2, C 2, E 2)$ ,按占空比加权得平均矩阵(Eq 7.107):

A = D A 1 + D^{'} A 2, B = D B 1 + D^{'} B 2, C = D C 1 + D^{'} C 2, E = D E 1 + D^{'} E 2

由此得平衡解 $X = - A^{- 1} B U$ 、 $Y = (- C A^{- 1} B + E) U$ ,以及小信号模型(Eq 7.110):

K \frac{d x ^}{d t} = A \overset{x}{^} + B \overset{u}{^} + {(A 1 - A 2) X + (B 1 - B 2) U} \hat{d}

花括号里的项就是占空比扰动驱动的源,它之所以存在,正因为两个子区间的矩阵不同——若 $A 1 = A 2$ (占空比不影响拓扑)就没有控制通道。推导的物理图像是:状态在子区间 1 以斜率 $K^{- 1} (A 1 x + B 1 u)$ 爬升、子区间 2 以 $K^{- 1} (A 2 x + B 2 u)$ 变化,一周期净变化除以 $T s$ 正好复现占空比加权的平均。对它取拉普拉斯, $(sK - A)^{- 1}$ 乘相应输入列就得到 $G v d$ 、 $G v g$ 。含 Ron、VD 的 buck-boost 实例(Eq 7.137–7.141): $A = [- D R o n - D^{'} D^{'} - 1/ R]$ 、 $B = [D 0 - D^{'} 0]$ 、 $C = [D 0]$ 、 $E = 0$ ,而 $\hat{d}$ 系数向量 $(A 1 - A 2) X + (B 1 - B 2) U = [V g - V - I R o n + V D I]$ 。带 ESR 的电容要把输出电压当因变量保留(ESR 让输出不连续、不能 small-ripple),会引入额外的 ESR 零点。

8. 传递函数的显著特征:Q、谐振与 RHP 零点

模型产出的传递函数普遍是"二阶极点 + 可能的零点"。把两极点 LPF 归一化(Eq 8.58)为 $G (s) = \frac{1}{1 + \frac{s}{Q ω 0} + ( s / ω 0 ) ^{2}}$ ( $ζ = \frac{1}{2 Q}$ ),对比系数得 $ω 0 = \frac{1}{L C}$ 、 $Q = R C / L$ (Eq 8.61)。 $Q \leq 0.5$ 双极点为实根、 $Q > 0.5$ 为复根; $f 0$ 处相位恰 $- 9 0^{\circ}$ 、幅频以 $- 40$ dB/dec 下滑(与 Q 无关),且谐振峰恰等于 $Q$ ( $∣ G (j ω 0) ∣ = Q$ ,Eq 8.65)。两个设计导向近似很有用:低 Q(实根、良分离)时 $ω 1 \approx Q ω 0$ 、 $ω 2 \approx ω 0/ Q$ ,对 RLC 即 $ω 1 \approx R / L$ 、 $ω 2 \approx 1/ (R C)$ ;高 Q(两个阻尼元件 R 与 ESR)时按 $Q \approx Ql o a d ∥ QC$ 折合,其中 $Ql o a d = R / R 0$ 、 $QC = R 0/ R C$ 、 $R 0 = L / C$ ——这正是把电容 ESR 阻尼折进 Q 的办法。

具体到 buck-boost,叠加原理给出(Eq 8.130/8.140):

G v g = - \frac{D}{D ^{'}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{s L}{D ^{'2} R} + \frac{s ^{2} L C}{D ^{'2}}}, G v d = - \frac{V g - V}{D ^{'}} \cdot \frac{1 - \frac{s L I}{D ^{'} ( V g - V )}}{1 + \frac{s L}{D ^{'2} R} + \frac{s ^{2} L C}{D ^{'2}}}

对比系数得 $ω 0 = D^{'} / L C$ 、 $Q = D^{'} R C / L$ 、 $G d 0 = V g / D^{'2} = V / (D D^{'})$ ,以及右半平面零点 $ω z = \frac{D ^{'} ( V g - V )}{L I} = \frac{D ^{'2} R}{D L}$ 。一个具体数值例(Ch8,与 §9 的 buck 例不同): $D = 0.6$ 、 $R = 10 Ω$ 、 $V g = 30$ V、 $L = 160 μ H$ 、 $C = 160 μ F$ → $G g 0 = D / D^{'} = 1.5$ (3.5 dB)、 $∣ G d 0∣ = ∣ V ∣/ (D D^{'}) = 187.5$ V(45.5 dBV)、 $f 0 = D^{'} / (2 π L C) = 400$ Hz、 $Q = D^{'} R C / L = 4$ (12 dB)、 $f z = D^{'2} R / (2 π D L) = 2.65$ kHz(RHP),外加 $18 0^{\circ}$ 反相——boost/buck-boost 的标志签名。三拓扑显著特征汇总:

变换器	$G g 0$	$G d 0$	$ω 0$	$Q$	RHP 零点 $ω z$
Buck	$D$	$V / D$	$1/ L C$	$R C / L$	无( $\infty$ )
Boost	$1/ D^{'}$	$V / D^{'}$	$D^{'} / L C$	$D^{'} R C / L$	$D^{'2} R / L$
Buck-Boost	$- D / D^{'}$	$V / (D D^{'})$	$D^{'} / L C$	$D^{'} R C / L$	$D^{'2} R / (D L)$

RHP 零点的物理起源(Eq 8.149,§8.2.3):块 $1 - s / ω z$ 在高频 $u o u t \approx - (s / ω z) u in$ 、相位反转 → 输出先朝反方向动。boost/buck-boost 的平均二极管电流 $⟨ i D ⟩ = d^{'} ⟨ i L ⟩$ ;占空比 D 突增会减小 $d^{'}$ ,于是 $⟨ i D ⟩$ 与 $V o u t$ 先下跌,要等电感电流 $i L$ 慢慢爬上来 $V o u t$ 才回升。RHP 零点加相位滞后却抬增益,把这两类拓扑的控制带宽死死卡在 $f z$ 以下(见 Boost 与补偿器设计);Buck 无 RHP 零点,所以最好补。

9. 端到端 worked example — 从模型到环路增益

用 Erickson §9.5.4 的 buck 走一遍"模型→传递函数→环路增益→闭环性能"全链(数值独立复算过)。规格: $V g = 28$ V、 $V = 15$ V、 $I l o a d = 5$ A(故 $R = 3 Ω$ )、 $L = 50 μ H$ 、 $C = 500 μ F$ 、 $f s = 100$ kHz、锯齿 $V M = 4$ V、基准 $V r e f = 5$ V。注意 Erickson 把器件当通用模型(MOSFET 记 Ron、二极管记 $V D + R D$ ),这套 keystone 例里没有厂商 part#;要看真芯片端到端(选 L / Cout / 补偿 / 效率)去 Buck 页 TPS54620 worked design。

第 1 步静态工作点 + 功率级对象:传感增益 $H = V r e f / V = 5/15 = 1/3$ ; $D = V / V g = 15/28 = 0.536$ ; $V c = D V M = 2.14$ V。由 §8 的 buck 行读出功率级: $G d 0 = V / D = 28$ V(buck 里恰等于 Vg)、 $f 0 = 1/ (2 π L C) = 1.0$ kHz、 $Q 0 = R C / L = 310 = 9.5$ (19.5 dB,注:真实 ESR 会把这个理想高 Q 拉低)、 $G g 0 = D$ 。

第 2 步未补偿环路增益: $T = G c \cdot (1/ V M) \cdot G v d \cdot H$ ;DC 值 $T u 0 = \frac{H V}{D V M} = \frac{( 1/3 ) \cdot 15}{0.536 \cdot 4} = 2.33$ (7.4 dB)。未补偿穿越约 1.8 kHz、相位裕度 $< 5^{\circ}$ ——不可用。这就是模型的价值:它把一台电源翻译成一张可读裕度的伯德图。

第 3 步模型告诉补偿器要补多少:取 $f c = 5$ kHz( $= f s /20$ )。模型预测该处增益缺口 $T u 0 (f 0/ f c)^{2} = 2.33 \cdot (1/5)^{2} = 0.093$ ( $- 20.6$ dB)→ PD 环节须在 5 kHz 补 $+ 20.6$ dB。选相位裕度 $5 2^{\circ}$ (对应闭环 $Q = 1$ 、16% 过冲;若要 $\leq 0.5$ 无过冲则需 $\geq 7 6^{\circ}$ ——这就是"3.3 V 轨不能过冲到 5–6 V"背后的裕度选择)。lead/PD 参数 $f z = f c \frac{1 - s i n 5 2 ^{\circ}}{1 + s i n 5 2 ^{\circ}} = 1.7$ kHz、 $f p = f c \frac{1 + s i n 5 2 ^{\circ}}{1 - s i n 5 2 ^{\circ}} = 14.5$ kHz、 $G c 0 = (f c / f 0)^{2} (1/ T u 0) f z / f p = 25 \cdot (1/2.33) \cdot 1.7/14.5 = 3.7$ (11.3 dB)。补偿后 DC 环路增益 $T u 0 G c 0 = 8.6$ (18.7 dB),相位在 1.4–17 kHz 平坦约 $5 2^{\circ}$ ——对 fc 漂移鲁棒。

第 4 步用模型验证线抑制:闭环线到输出 $= G v g / (1 + T)$ ,低频段 $1/ (1 + T) \approx 1/ T$ 。仅 PD 时 DC 段 $1/ (1 + T) = - 18.7$ dB; $v g$ 上 100 Hz、1 V 纹波经开环 $G v g (100 Hz) \approx D = 0.536$ → 0.536 V,闭环除以 8.6 = 62 mV。再加 PI(倒置零点 $f L = f c /10 = 500$ Hz、 $G c m = G c 0 = 3.7$ )把低频增益抬高:100 Hz 处额外衰减 $100/500 = 1/5$ ( $- 14$ dB),总 $1/ (1 + T) @100 Hz = - 32.7$ dB → 同样 1 V 纹波在输出只剩 12 mV。

一句纠偏:§9.5.4 是连续时间/模拟 s 域的 PD+PID 设计(运放补偿器),不是"全数字";数字实现(离散补偿器、DPWM、量化)是另一章 §19.4 的内容,别混为一谈。完整补偿器综合流程见补偿器设计。

10. 电流模式建模 — 一阶模型、采样与 fsw/2 极点

峰值电流模式(CPM)是另一大类,建模思路不同:电流内环把电感电流直接控住,假设理想内环 $⟨ i L ⟩ \approx i c$ ,电感电流不再是状态,一个极点消失。代数上从平均小信号方程里用 $s L \hat{i c} \approx D \overset{v g}{^} + D^{'} \overset{v}{^} + (V g - V) \hat{d}$ 消掉 $\hat{d}$ 。结果:buck-boost $G v c = - \frac{R D ^{'}}{1 + D} \cdot \frac{1 - sD L / ( D ^{'2} R )}{1 + s R C / ( 1 + D )}$ (单极点,RHP 零点不变;直流增益系数是 $R D^{'}$ 不是 $R D$ )、 $G v g = - \frac{D ^{2}}{1 - D ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + s R C / ( 1 + D )}$ ;buck $G v c = \frac{R}{1 + s R C}$ (单极点)、 $G v g = 0$ (简单模型下输入扰动被完全抑制)。等效开关观点:CPM 把开关输出端口变成电流源 $i c$ 、输入端口变成功率沉 $p = ⟨ i c ⟩ ⟨ v 2 ⟩$ ;线性化功率沉给出负增量输入阻抗 $- V 1/ I 1$ (恒功率下 $↑ v 1 \Rightarrow↓ i 1$ )——一个反直觉但真实的效应。

电流模式(峰值电流控制)建模三层深化:① 简单一阶模型——电流内环把电感电流钉在控制量 ic 上,电感电流不再是状态,LC 双极点塌成单极点(约 1/RC 尺度),RHP 零点保留、直流增益随负载变;② D>0.5 亚谐波不稳定——扰动每周期乘 −D/D',D>0.5 发散(boost Vg20/V50→D0.6→α=−1.5),加斜率补偿 ma≥0.5·m2 后 α 在 D=1 处 =−1、|α|<1 全 D 稳定;③ 采样数据模型——离散映射 iL[n]=α·iL[n−1]+(1−α)·ic[n],二阶 Padé 给出 fs/2 处极点对,品质因数 Qhf=(2/π)/(1−2D+2D·Ma/M2),α→−1 时 Qhf→∞ 即 fs/2 倍周期振荡

$D > 0.5$ 亚谐波不稳定(拓扑无关):扰动逐周期传播 $\hat{i L} (n T s) = \hat{i L} (0) (- m 2/ m 1)^{n}$ ,稳态 $m 2/ m 1 = D / D^{'}$ ,故 $\hat{i L} (n T s) = \hat{i L} (0) (- D / D^{'})^{n}$ ——稳定当且仅当 $∣ - D / D^{'} ∣ < 1 \Leftrightarrow D < 0.5$ 。数值:boost $V g = 20$ 、 $V = 50$ → $D = 0.6$ → 每周期乘 1.5(发散); $V = 30$ → $D = 1/3$ → 乘 0.5(衰减)。修复靠斜率补偿:加人工斜率 $ma$ ,当 $i L + ia = i c$ 时关断,新特征乘子 $α = - \frac{m 2 - ma}{m 1 + ma}$ ;取 $ma = 0.5 m 2$ 则 $α = - 1$ 于 $D = 1$ 、对所有 $0 \leq D < 1$ 有 $∣ α ∣ < 1$ ——通用稳定的最小斜率(它也把理想 buck 的 $G v g$ 归零)。斜率太大则退化成电压模式(丢失电流源特性、降低电流环带宽)。

更精确的模型:采样在哪里进来( $f s w /2$ 的严格出处)。正确定位的平均窗给出调制器增益 $F m = \frac{1}{( M a + ( M 1 - M 2 ) /2 ) T s}$ (Table 18.2:buck $F g = D D^{'} T s /2 L$ 、 $F v = 0$ ;boost $F g = 0$ 、 $F v = D D^{'} T s /2 L$ ;buck-boost 二者皆非零)。真正的采样效应在采样数据模型里:离散映射 $\hat{i L} [n] = α \hat{i L} [n - 1] + (1 - α) \hat{i c} [n]$ ,z 域 $G i c (z) = \frac{1 - α}{1 - α z ^{- 1}}$ (极点 $z = α$ ,稳定 $∣ α ∣ < 1$ ,与前一致)。配零阶保持后 $G i c (s) = \frac{1 - α}{1 - α e ^{- s T s}} \cdot \frac{1 - e ^{- s T s}}{s T s}$ ——精确但非有理。一阶 Padé 给单极点 $f h f = \frac{1 - α}{1 + α} \cdot \frac{f s}{π}$ (与平均模型一致,但看不到不稳定);二阶 Padé 才给出 $f s /2$ 处的极点对, $Q h f = \frac{2/ π}{1 - 2 D + 2 D M a / M 2}$ ——在倍周期边界 $α = - 1$ 时 $Q h f \to \infty$ , $f s /2$ 极点峰到无穷、出现亚谐波( $f s /2$ )振荡。这就是 CPM 在 $D \approx 0.5$ 附近若斜率不足会失稳的严格机理;平均模型可用额外调制器极点 $f x = \frac{π}{4} (1 - 2 D + 2 D M a / M 2) f s$ 补足。worked buck(§18.7): $f s = 100$ kHz、 $D = 0.5$ 、 $V g = 10$ V、 $V = 5$ V、 $L = 5 μ H$ → $M 1 = M 2 = 1$ A/µs; $M a / M 2 = 0.1$ → $α = - 0.82$ 、 $f s /2$ 尖锐峰; $M a / M 2 = 0.5$ 与实际匹配到 $f s /5$ ; $M a / M 2 = 5$ 过早滚降(电流环带宽被压)。电流模式采样对象的完整式见 PCMC Buck 控制环路。

11. 建模的失效边界与实战陷阱

前面的公式都成立,但把模型用歪会翻车。逐条对照这份专家 checklist。

有效电感 $\neq =$ 物理 L:boost/buck-boost $L e = L / D^{'2}$ ,所有显著特征( $ω 0$ 、 $Q$ 、 $ω z$ )随 D' 移动 → 对象随工作点漂移;补偿器必须在整个 $V g$ /负载范围守住相位裕度,不能只在标称点算一次。
RHP 零点是硬带宽墙: $f z = D^{'2} R / (2 π D L)$ (buck-boost)/ $D^{'2} R / (2 π L)$ (boost),贡献 $- 9 0^{\circ}$ 相位却 $+ 20$ dB/dec 抬增益 → 穿越不能靠近或高于 $f z$ ;最恶劣在高 D + 轻载。Buck 无 RHP 零点、天生好补。
Q 由 ESR 定,不只是 R:理想 $Q 0 = R C / L$ (如 9.5)偏乐观;电容 ESR 与 RL 会拉低它(高 Q 近似 $Q \approx Ql o a d ∥ QC$ )。ESR 零点 $1/ (2 π ESR C)$ 加的相位反而可以利用。
CPM "Gvg = 0" 是简单模型的谎言:buck 的线抑制"小但非零"(§18.3,buck $F v = 0$ 但 $F g$ 有限),别按"完美线抑制"设计。
PWM 采样把带宽压在 $≪ f s w /2$ :与补偿器无关,调制器在调制边沿采样;叠加" $\leq f s w /10$ 补偿器极点须在 $f s w$ 前滚掉"这条,实际 $f c$ 落在 $f s w /20$ – $f s w /10$ 。
平均模型的损耗精度随纹波退化(Table 3.1):导通损耗 $D I^{2} R o n$ 只在零纹波精确、 $Δ i = I$ 时 +33%;大纹波用 rms。
$D \to 1$ 处 $η \to 0$ 与 $V / V g$ 掉头:含 RL 的 boost/buck-boost 有一个由 $R L / R$ 定的最大可达 M,理想 $1/ D^{'}$ 不可达。
$d^{'} = D^{'} - \hat{d}$ 的符号翻转是控制进入模型的入口,丢了它整个模型没有控制通道。
先归一化 $s^{0}$ 系数为 1 再读显著特征;寄生电阻是占空比加权( $D R o n$ / $D^{'} R D$ ),小信号阻尼因而也随 D 变。
建模用电路重建而非蛮力代数(Erickson 中心方法论,出错更少)。
环路增益实测(§9.6)须在 $Z 1 ≪ Z 2$ (或反之)处做电压/电流注入,绝不能直接断环打 DC 偏置(误差放大器会饱和);加 $R e x t$ 甚至能测不稳定环路,源阻抗不影响 $T v$ 。

核心要点

变换器非线性时变,LTI 工具不能直接用;桥梁 = 平均 → 扰动 → 线性化三步(符号翻转 $d^{'} = D^{'} - \hat{d}$ 是控制入口),产出 LTI 小信号模型
静态基石是 DC transformer( $1 : M (D)$ 过直流的理想变压器);含 RL 得 $η = 1/ (1 + R L / (D^{'2} R))$ ,解释高 D 效率崩塌;寄生电阻占空比加权 $D R o n$ / $D^{'} R D$ ,平均损耗模型仅小纹波精确(Table 3.1: $Δ i = I$ 时 +33%)
手法核心:不硬解方程,而是构造 Kirchhoff 方程同形的等效电路(静态、动态、电压/电流模式同一套)
PWM 就是常数增益 $1/ V M$ + 采样(把带宽压在 $≪ f s w /2$ )
canonical 模型 = $1 : M (D)$ 变压器 + 有效低通 $H e (s)$ ( $L e = L / D^{'2}$ )+ $\hat{d}$ 驱动源;读出 $G v g = M H e$ (无零点)、 $G v d = e (s) M H e$ 、 $Z o u t = Z e 0 R$
RHP 零点来自 $e (s)$ (输出侧 $I \hat{d}$ 源推过电感的 $s$ 项);Buck 无(补偿最易),Boost/Buck-Boost 有( $ω z = D^{'2} R / L$ 、 $D^{'2} R / (D L)$ ,带宽死穴,物理上因 $⟨ i D ⟩ = d^{'} ⟨ i L ⟩$ 使 Vout 先反向)
状态空间平均是矩阵形式的保证: $A = D A 1 + D^{'} A 2$ ,平衡 $X = - A^{- 1} B U$ , $\hat{d}$ 驱动源 $= (A 1 - A 2) X + (B 1 - B 2) U$
显著特征: $ω 0 = 1/ L C$ (boost/bb 乘 $D^{'}$ )、 $Q = R C / L$ (boost/bb 乘 $D^{'}$ )、 $∣ G (j ω 0) ∣ = Q$ ;低 Q $ω 1 \approx R / L$ 、 $ω 2 \approx 1/ (R C)$ ,高 Q 折 ESR $Q \approx Ql o a d ∥ QC$
worked example(§9.5.4 buck,连续时间非数字): $G d 0 = 28$ V、 $f 0 = 1$ kHz、 $Q 0 = 9.5$ 、 $T u 0 = 2.33$ → PD( $f c = f s /20$ 、PM $5 2^{\circ}$ 、 $G c 0 = 3.7$ )→ 加 PI( $f L = 500$ Hz)→ 100 Hz 线抑制从 62 mV 压到 12 mV
电流模式: $⟨ i L ⟩ \approx i c$ 消一极点(RHP 零点仍在); $D > 0.5$ 亚谐波不稳定( $α = - D / D^{'}$ ), $ma = 0.5 m 2$ 为通用稳定最小斜率;采样数据模型在 $f s /2$ 出极点对, $Q h f = (2/ π) / (1 - 2 D + 2 D M a / M 2)$ , $α = - 1$ 时 $Q h f \to \infty$

缩写表

缩写	全称
LTI	Linear Time-Invariant(线性时不变)
CCM / DCM	Continuous / Discontinuous Conduction Mode(连续 / 断续导通模式)
PWM / DPWM	Pulse-Width Modulation / Digital PWM(脉宽调制 / 数字 PWM)
CPM	Current-Programmed Mode(峰值电流模式)
SSA	State-Space Averaging(状态空间平均)
RHP zero	Right-Half-Plane zero(右半平面零点)
Gvd / Gvg	控制-输出 / 线-输出传递函数
Gvc	控制电压-输出传递函数(电流模式)
He(s) / Le	有效低通滤波器 / 有效电感
e(s) / j(s)	canonical 模型的 d̂ 驱动电压源 / 电流源
ESR	等效串联电阻
D / D'	占空比 / 其补 1−D
Q / f0	品质因数 / 谐振频率
Fm / ma	电流模式调制器增益 / 人工斜率
PM / PD / PI / PID	相位裕度 / 比例微分 / 比例积分 / 比例积分微分补偿
KVL / KCL	基尔霍夫电压 / 电流定律

Cross-references

← 索引
开关电源全景主线 — 站③/④ 动态建模,本页上位主线
Buck 降压变换器 — 无 RHP 零点、补偿最友好;真芯片 TPS54620 端到端 worked design
Boost 升压变换器 — RHP 零点与高 D 效率崩塌的来源
功率电子学 — 伏秒/安秒平衡,平均方程的底座
CCM/DCM/BCM 工作模式 — 建模前提(CCM),DCM 需分裂近似
补偿器设计 — 用 Gvd 设计 PD/PI/PID 与 Type-2/3
输出纹波与输出电容选型 — ESR 零点如何折进 Q
变换器级损耗预算与效率 — DC transformer 损耗模型的整机版