Boost Converter 升压变换器 — RHP 零点 · 效率崩塌 · 专家级 worked design

Boost 把电感放在输入串联支路,开关管接在电感右端到地,二极管从电感右端接到输出电容 Cout 与负载。因为电感永远在输入通路上,输入电流就是电感电流——这一点后面同时决定它的 EMI 特性、效率崩塌与 RHP 零点。约定 D 为开关(低边管)导通占空比,$D^{\prime }=1-D$ 为其补。

导通期(DTs)开关把电感右端拉到地,输入电压全加在电感上,电感电流以斜率 $Vin/L$ 上升储能,此时二极管反偏、输出电容独自供负载。关断期(D'Ts)开关断开,电感电流不能突变,迫使电感右端电压跳高,与 Vin 串联一起经二极管给输出充电——能量只在这一段送到输出。这个"分时送能"是第 7 节 RHP 零点的物理根,也是 Boost 与 Buck(电感持续接输出)在控制上的分水岭。

先假设电感电流连续(CCM),用两条稳态硬约束定死所有直流量:电感伏秒平衡 $⟨vL⟩=0$(一周期磁链净变化为零)与电容电荷平衡 $⟨iC⟩=0$(一周期电荷净变化为零)。Boost 的电感电压两段取值:导通期 $vL=Vin$,关断期 $vL=Vin-Vout$。令一周期净伏秒为零:

用 $D+D^{\prime }=1$ 展开得 $Vin=Vout\cdot D^{\prime }$,于是变比:

理想下 $D\to 1$ 时 $Vout\to \infty$、$D=0$ 时 $M=1$。再看电容电荷平衡:导通期 $iC=-Vout/R$、关断期 $iC=IL-Vout/R$,令净电荷为零得 $IL{D}^{\prime }=Vout/R=Io$,即电感(=输入)直流电流:

这是升压的核心代价:因 $Pin=Pout$ 而 $Vout>Vin$,输入电流必然大于输出电流,且随 $D\to 1$ 按 $1/D^{\prime 2}$ 急涨。这个 $1/D^{\prime 2}$ 既是下一节效率崩塌的种子,也是第 7 节 RHP 零点系数里的那个 $D^{\prime 2}$。电感电流纹波(振幅、半峰峰)由导通期斜率积分得:

small-ripple 近似(纹波远小于直流、当常数处理)是上述推导的前提,失效边界与 Buck 同:不能用在被开关斩断的量(开关电压/二极管电流),算输出纹波要另用电荷法(见第 5 节),DCM 下对 $vL$ 不再近似。

变比只用到"净伏秒为零";而电感值 L 决定电流一周期摆多大。Maniktala 把纹波占比形式化为电流纹波率 $r\equiv \Delta Ipp/IL=2\Delta iL/IL$(峰峰纹波比平均电感电流)。注意 Boost 的平均电感电流不是负载电流,而是 $IL=Io/D^{\prime }$,这是它和 Buck($IL=Io$)代数上的关键差别。反解电感(导通期加在电感上的电压 $Von=Vin$):

其中 $Et=VinDTs$ 是一周期伏秒(伏秒平衡下通断相等)。定了 r、读出 Et,就得 $LIL$ 积。为什么 $r\approx 0.4$ 是甜点(工作区 0.3–0.5):r 是取舍旋钮。小 r 要大电感(体积、匝数、成本、瞬态慢);大 r 电感小,但峰值电流 $Ipk=IL(1+r/2)$、开关/二极管/电容 RMS 电流、磁芯 AC 损耗全涨,峰值电流模式还逼近电流限并丢噪声裕度。把峰值储能对 r 作图,拐点落在 0.4 附近;它同时是磁通纹波率 $r=2Bac/Bdc$,约束磁芯 AC 磁摆。推论:$L\propto 1/fsw$、$L\propto 1/Io$,而峰值电流与 fsw 无关——想减 L 提带宽(见第 7 节)只能靠抬 fsw 或加大 r,但后者顶穿电流限。

理想 $M=1/D^{\prime }$ 说 $D\to 1$ 可升到无穷,现实里电感铜阻 RL 让这条曲线先升到峰值再跌回零。把 RL 串进电感支路重做伏秒/电荷两方程消元,得带下垂修正的变比与仅计铜损的效率:

第一项 $1/D^{\prime }$ 是理想比,第二项是损耗下垂;高效率要求 $RL\ll D^{\prime 2}R$。低 D 时($D^{\prime }\to 1$)容易满足,高 D 时($D^{\prime }\to 0$)分母里的 $D^{\prime 2}$ 把要求收得极紧。物理上 $D\to 1$ 时开关几乎恒通、电感几乎不接输出、能量送不出去,输入电流被 RL 限在 $Vin/RL$、功率全耗在绕组里 → $\eta \to 0$、$Vout$ 不再趋无穷而是回落到 0。

最大可达升压比的解析解(教材只给数值,此处补全):令 $a=RL/R$,则 $Vout/Vin=D^{\prime }/(D^{\prime 2}+a)$;对 $D^{\prime }$ 求导 $(a-D^{\prime 2})/(D^{\prime 2}+a{)}^2=0$ 解出最优工作点与峰值:

验证:$RL/R=0.02$ 给 $D^{\prime }opt=0.141$(即 $D=0.859$),$Mmax=3.54$——与 Erickson Fig 3.9 的"约 3.5"吻合。专家含义:要 $Vout/Vin=5$ 就需 $RL/R<1\%$,升压比的上限被寄生电阻硬性钳死。这就是"不能靠加大 D 无限升压"的定量根源:控制器若开环冲高占空比,会越过峰值锁死在崩塌区。

Boost 的输出纹波机理与 Buck 根本不同。Buck 电感直接接输出(两极点 LC),流入电容的只有电感纹波;Boost 在导通期二极管截止,输出电容独自向负载放电,$iC$ 是可直接求解的脉动波形。导通期 $dvC/dt=-Vout/(RC)$,积分半个导通区间得峰值纹波:

这是**一阶(单极点)**结果,与 R 有关。因二极管电流是硬台阶(关断→导通瞬间跳变),同容量下 Boost 输出纹波比 Buck 大;真实电容还要叠加 ESR 压降(峰峰 $\approx$ ESR $\times$ 电容电流峰峰)。可核对:Erickson 的峰峰纹波 $2\Delta v=VoutD/(RCfsw)=(Vout-Vin)Io/(VoutCfsw)$,与第 8 节 TI 的放电纹波公式完全等价。输出电容选型的通用方法见输出纹波与输出电容选型。

轻载时 Boost 也会进 DCM:二极管谷值电流触零后单向阻断,电感电流在第三子区间保持零。CCM 判据是二极管电流谷值 $IL-\Delta iL>0$,代入 $IL$ 与 $\Delta iL$ 并定义无量纲参数 $K=2L/(RTs)$:

这条曲线 $dKcrit/dD=(1-D)(1-3D)=0$ 在 $D=1/3$ 取最大值 $4/27\approx 0.148$,故只要 $K>4/27$(对应 $R<27L/(2Ts)$)Boost 对所有 D 都 CCM。与 Buck 相反的关键点:Boost 在 $D\to 0$ 处 $Kcrit\to 0$、天然回 CCM(纹波趋零而电流不为零),DCM 只在中段($D\approx 1/3$)出现;Buck 的 $Kcrit=1-D$ 却在低 D 最易 DCM。DCM 下变比抬高、且与负载(经 K 中的 R)相关:

关键后果:DCM 令输出电压比 CCM 的 $1/D^{\prime }$ 更高、且随负载漂移——这正是 Boost 空载会飞压、必须最小负载或环路强制的根源。通用导通模式机理见CCM/DCM/BCM 工作模式。

Boost 控制最棘手的是右半平面零点(RHP zero),其物理根就是第 1 节的"能量只在关断期 D'Ts 送出"。平均二极管电流 $⟨iD⟩=D^{\prime }\cdot ⟨iL⟩$;当占空比 D 阶跃增大,$D^{\prime }$ 瞬时减小,在电感电流还没涨起来之前送到输出的平均电流先减少——输出电压先往错误方向下跌,之后 $iL$ 才慢慢爬升、$⟨iD⟩$ 回升、$Vout$ 才到更高的新稳态。这个"输出初始反向"就是 RHP 零点的时域指纹。

从小信号 canonical 模型,把输出侧的受控电流源推过电感会生出一个 $sL$ 项,使受控电压源频率依赖 $e(s)=Vout(1-sL/(D^{\prime 2}R))$、等效电感 $Le=L/D^{\prime 2}$——RHP 零点是拓扑固有,不是寄生。控制-输出传递函数为双极点 + 一个 RHP 零点,其显著特征(Erickson Table 8.2):

RHP 零点幅频像零点(抬增益 +20dB/dec)、相频像极点(掉相位 $-90^{\circ }$),是稳定性杀手:它是非最小相位,超前网络只能加相位、移不动零点,唯一实招是把穿越频率 $fc$ 拉到远低于 $fRHPZ$(经验 $fc<fRHPZ/5$,激进上限 ~$/3$、保守 $/10$)。而 $fRHPZ=D^{\prime 2}R/(2\pi L)$ 随 Vin 降低、负载加重(R 减小)、L 增大而下移——最恶劣在 Vinmin + 满载,补偿必须按此点设计。一个数值示范(借 Erickson §8.2 buck-boost 例的同组元件、重算为 Boost:$D=0.6$、$R=10\Omega$、$Vin=30\text{V}\Rightarrow Vout=75\text{V}$、$L=160\mu H$、$C=160\mu F$):

双极点贡献 $-180^{\circ }$、RHP 零点再叠 $-90^{\circ }$,总相位滞后逼近 $-270^{\circ }$。定量补偿见补偿器设计与变换器 AC 小信号建模。

用一颗真芯片走一遍:TI TPS61088(2.7–12V 输入、集成 10A 开关、固定频率峰值电流模式(fsw 由 RFREQ 设定)、外部补偿)。目标 Vin=3.3–4.2V(单节锂电)、Vout=9V、Iout=3A、fsw=600 kHz、输出纹波 100 mV pp、轻载 PFM。器件常数:电流采样 Rsense=0.08Ω、误差放大器跨导 GEA=190µA/V、PWM 基准 VREF=1.204V、频率设定电容 CFREQ=23pF、延迟 tDELAY=89ns、电流限 ILIM=1.19e6/RILIM。参考原理图选型如下表。

第 1 步 设频率与分压:频率设定电阻 $RFREQ=4\cdot (1/fsw-tDELAY\cdot Vout/Vin)/CFREQ$,在 $Vin=4.2\text{V}$ 处 $=4\cdot (1.667\mu s-89\text{ns}\cdot 2.143)/23\text{pF}=256.7\text{k}\Omega$ → 取标准 255kΩ。反馈上分压 $R1=(Vout-VREF)\cdot R2/VREF=(9-1.204)\cdot 56\text{k}/1.204=362.6\text{k}\Omega$ → 取 360kΩ,分压电流 $Idiv=VREF/R2=21.5\mu A\ge 20\mu A$。电流限 $ILIM=1.19\text{e}6/RILIM=11.9\text{A}$,最恶劣最小值 $11.9-1.3=10.6\text{A}$。

第 2 步 选电感与峰值电流应力链(必在最恶劣 Vinmin=3.3V/Dmax 处算,因输入越低占空比越高、输入电流越大):

(此处 $\Delta Ipp$ 是峰峰电感电流纹波,与 §3 的振幅 $\Delta iL$ 关系为 $\Delta Ipp=2\Delta iL$。)

纹波率 0.32 接近 Maniktala 甜点 0.4。裕量链是本设计的应力瓶颈:Isat 12.2A > ILIM(典) 11.9A > ILIM(min) 10.6A > ILpeak 10.5A——极紧;若电感取 $-30\%$ 容差(0.84µH)则 $\Delta iL$ 涨到 4.14A、$ILpeak$ 顶穿 ILIM。这解释了为何电感 Isat 必须按电流限而非稳态峰值选。

第 3 步 选输出电容(叠 DC-bias 降额):放电纹波

ESR 项 $ILpeak\cdot RESR\approx 10.5\cdot 0.67\text{m}\approx 7\text{mV}$。但真正的约束是陶瓷电容 DC-bias 降额:3×22µF 标称 66µF 在 9V 偏置下实效可能只剩约 30µF,纹波翻倍到 96–106mV——所以要用有效电容而非标称值算,并留电压裕量,这才是 100mV 目标的真实边界。

第 4 步 Type-II 补偿(用最恶劣 Vinmin:$D=0.633$、$D^{\prime }=0.367$):负载极点 $fP=2/(2\pi ROCO)$($RO=Vout/Iout=3\Omega$、$CO=66\mu F$、因子 2 为 TI datasheet 该式约定)$=1.6\text{kHz}$;RHP 零点

ESR 零点在陶瓷下达 MHz 级。穿越频率取 $fc\le \min (fsw/10,fRHPZ/5)=\min (60\text{k},10.7\text{k})\approx 10\text{kHz}$——RHP 零点是带宽的硬上限,与第 7 节完全对应。补偿件:

补偿零点 $fCOMZ=1/(2\pi R5C5)\approx 1.6\text{kHz}$ 恰好抵消负载极点 fP;$C8=RESRCO/R5\approx 1.2\text{pF}<10\text{pF}$ 故留空。设计目标 PM > 45°、GM > 10dB。

第 5 步 模式与效率核对:$K=2L/(ROTs)=2\cdot 1.2\mu /(3\cdot 1.667\mu )=0.48$,而 $Kcrit=D{D}^{\prime 2}=0.633\cdot 0.134=0.085$——$K\gg Kcrit$ 故满载 CCM;轻载 R 升高、K 降到 $Kcrit$ 以下进 DCM,这正是芯片轻载走 PFM 的原因。仅铜损的效率天花板 $\eta =1/(1+RL/(D^{\prime 2}RO))$,$RL=DCR=7\text{m}\Omega$、$D^{\prime 2}RO=0.403\Omega$:

实测约 90% 的差额来自 MOSFET 导通(高边 13mΩ/低边 11mΩ)、栅/开关损耗、磁芯损耗与 ESR——整机损耗预算法见变换器级损耗预算与效率。

Boost 开关管与二极管都要承受输出电压 Vout(不像 Buck 只承受 Vin),这是升压拓扑的固有代价;更关键的是——几乎所有电流应力都在 Vinmin/Dmax 处最恶劣(输入越低、占空比越高、输入电流越大),这与 Buck 应力分散在不同输入端截然不同。设计电感/电流限/RMS 全部按 Vinmin/Dmax 那一角算。

含压降的最大占空比 $Dmax=(Vout-Vinmin+VD)/(Vout-Vsw+VD)$;二极管平均电流恒为 Io(与输入无关,故 $PD=VD\cdot Io$)。选型经验:器件电流额定 $\ge 2\times$ 最恶劣均值、电压额定 $\ge 1.2\times Vout$。新手最常踩的坑是按 Vin 而非 Vout 给开关/二极管选耐压——Boost 关断期峰压是 Vout,被严重低估。

worked design 给的是标称点;真投产要守住工作空间的边界——这几条恰是"datasheet 有没有读进去"的分水岭。

• 最大占空比 → 最高升压比撞双墙:一墙是第 4 节的 $Mmax=1/(2\sqrt{RL/R})$ 效率钳制(越过就崩塌);另一墙是自举/最小关断时间限定的 D 上限。要大升压比(例如 >6 倍)应改两级或反激,别硬拉 D。
• 空载/轻载飞压:DCM 下 $M=1/2+D/\sqrt{K}$ 高于 CCM 的 $1/D^{\prime }$ 且随负载漂移,空载会飞压击穿输出器件;必须最小负载、假负载或环路强制 FCCM。
• $D\to 0$ 不入 DCM(与 Buck 相反):Boost 在低 D 端 $Kcrit=D(1-D{)}^2\to 0$、天然 CCM,DCM 只在中段 $D\approx 1/3$ 出现——轻载判据要按中段 Kcrit 峰 4/27 定电感下限。
• RHP 零点与减 L 的根本张力:想提带宽就想减 L(抬 fRHPZ),但减 L 抬高纹波/峰值电流、逼近 Isat/ILIM;无免费午餐。且 fRHPZ 在 Vinmin+满载最低,补偿要按最恶劣角设计。
• 峰值电流模式次谐波振荡:$D>0.5$ 且斜率补偿不足时倍周期振荡;r 设太大会加剧,COT/峰流架构靠内建斜坡/自适应处理。
• 无真正关断 / 启动浪涌:即便开关常断,Vin 仍经电感+二极管直通到输出(输出无法低于 $Vin-VD$),Boost 不能靠停开关关断输出;上电瞬间还有经二极管的浪涌电流,需软启或串入断开开关。
• fsw 权衡:高 fsw → L、Cout 更小、fRHPZ 上移、带宽可提,但开关/栅驱损耗 $\propto fsw$、EMI 更难压;低 fsw → 无源件大、效率高。先由 EMI 敏感频段+效率定上限,再由体积/成本定下限。

前面各节公式都成立,但真实设计翻车往往不在公式而在这几处"看着对、实则咬人"的地方——按经验列成 checklist,逐条对照。

• 电感只按标称 L、忽略 $-30\%$ 容差与 Vinmin → $Ipk$ 顶穿 ILIM。必须在最恶劣角+容差下重算峰值电流,守住 Isat > ILIM(典) > ILIM(min) > ILpeak 的裕量链。
• 用标称而非 DC-bias 降额电容 → 纹波、负载极点 fP、补偿 R5 与 $fRHPZ/5$ 判据(都用有效 CO)全部漂移;用有效电容算,别信标称。
• fc 贴近 fRHPZ → 相位裕量崩、振荡;RHP 是非最小相位,超前网络补不回相位,只能压 fc 到 $fRHPZ/5$ 以下。
• 空载不加最小负载 → 掉进 DCM 飞压,击穿输出器件。
• 想靠加大 D 无限升压 → 越过 $Mmax=1/(2\sqrt{RL/R})$ 峰值后效率跳崖、变比反降;大升压比走两级/反激。
• 开关/二极管按 Vin 而非 Vout 选耐压 → Boost 关断期峰压是 Vout,被低估;耐压按 $1.2\times Vout$ 选并留振铃裕度。
• 磁芯饱和看峰值电流不是 RMS:按 $Ipk=(Io/D^{\prime })(1+r/2)$ 定,$Bpk$ 留在铁氧体拐点下;供应商 Idc/Irms/Isat 三额定都要核(详见电感设计)。